Curvatura escalar de Ricci

En matemàtiques, la curvatura escalar d'una superfície és el doble de la familiar curvatura gaussiana. Per a les varietats riemannianas de dimensió més alta (n > 2), és el doble de la suma de totes les curvaturas seccionales a lo llarc de tots els 2-plans travessats per un cert marc ortonormal. Matemàticament, la curvatura escalar o escalar de curvatura, que sol designar-se en les lletres R o S, coincidix també la traça total de la curvatura de Ricci aixina com del tensor de curvatura.

Expressió en components

L'escalar de curvatura de Ricci R pot expressar-se fàcilment en térmens del tensor mètric $g_{\mu \nu }$(i les seues primeres derivades ) que definix la geometria de la superfície o varietat riemanniana que el seu escalar de curvatura pretenem trobar, usant el conveni de sumación d'Einstein:

A on els símbols de Christoffel que apareixen en l'expressió anterior es calculen a partir de les primeres derivades dels components del tensor mètric:

${\Gamma }_{kl}^i=\frac{1}{2}{g}^{im}(\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^l}+\frac{\partial g_{ml}}{\partial x^k}-\frac{\partial g_{kl}}{\partial x^m})$

Bibliografia

• Llig, J. M. Riemannian manifolds: an introduction to curvature. GTM 176. ISBN 0-387-98271-X.
• Wald, R. M. General Relativity, University of Chicago Press, 1984. ISBN 0-226-87033-2.