Pseudoesfera

Pseudoesfera.

Archiu:Tractrix-sketch-lettered-colour.png

Tractriz (curva en blava).

El domini coloreado en el pla hiperbòlic (model del disc de Poincaré) és isomètric a mija pseudoesfera menys la seua generatriz. El horodisco que ho conté es pot vore com un recubridor d'infinits fulls de mija pseudoesfera. Les llínees negres (que són geodèsiques del pla hiperbòlic) separen els diferents fulls de dit recubridor.

Una pseudoesfera és la superfície de revolució que s'obté girant una tractriz al voltant de la seua asíntota. És una superfície en curvatura de Gauss constant negativa, lo que implica que cada u dels seus punts és un punt de cadira.

El radi de la circumferència que resulta de la revolució del vèrtiç de la tractriz (el punt $P_{0}$ en l'ilustració) es diu ràdio de la pseudoesfera. Normalment es considera que la pseudoesfera consta de les dos parts simètriques a un costat i un atre de dita circumferència, de manera que és una superfície regular llevat en els punts de la mateixa.

La motivació del nom de "pseudoesfera" prové de certes analogia existents en l'esfera de dimensió 2: esta té curvatura constant positiva, mentres que la pseudoesfera té curvatura constant negativa. Encara que la pseudoesfera no és una superfície acotada, la seua àrea és finita, aixina com el volum de la regió que tanca. La seua àrea $A$ , en funció del radi $R$ , és el mateix que el de l'esfera del mateix radi i el seu volum $V$ és la mitat del de l'esfera (i poden calcular-se a partir de les fòrmules usuals per a superfícies de revolució):

$A = 4 π R^{2}, V = \frac{2}{3} π R^{3}$

Ya que la pseudoesfera té curvatura constant negativa, és localment isomètrica al pla hiperbòlic, i de fet mija pseudoesfera menys una de les seues generatrices és isomètrica a un obert del pla hiperbòlic. Per este motiu, la pseudoesfera és un model útil per a visualisar part de dit pla com a superfície en l'espai euclídeo usual.

Este obert del pla hiperbòlic està vorejat per tres curves: un tros de horocírculo i dos geodèsicas en extrem comú en infinit, com a mostra el dibuix. Ademés, el horodisco que conté a dit obert es pot vore com un recubridor d'infinits fulls de mija pseudoesfera.

Parametrización de la pseudoesfera

Tenint en conte que és una superfície de revolució, la pseudoesfera de radi 1 es pot parametrizar per:

per a $u \in ℝ, v \in [0, 2 π)$ .

Vore també

Este artícul conté una traducció derivada de «Pseudoesfera» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.