Coordenades de la recta

Archiu:Recta genérica.png

Representació d'una recta sobre el pla que talla a l'eix x en el punt (4,0) i a l'eix i en el punt (0,2):
-L'equació d'esta recta pot expressar-se de :0distintes formes:
* Expressió en coordenades cartesianas: i = 2 - x/2
* Expressió en coordenades de la recta: -1/4 x - 1/2 i + 1 = 0

En geometria, les coordenades de la recta s'utilisen per a especificar la posició d'una recta, de forma anàloga a les coordenades que s'usen per a especificar la posició d'un punt.

Rectes en el pla

Hi ha vàries formes possibles d'especificar la posició d'una recta en el pla. Una forma simple és per mig del parell (m, b) a on l'equació de la recta és:

i = mx + b.

Ací m és la pendent i b és el tall en l'eix i. Este sistema especifica coordenades per a totes les rectes que no són verticals. No obstant, és més comú i més simple utilisar algebraicamente les coordenades (l, m) a on l'equació de la recta és:

lx + my + 1 = 0

Este sistema especifica coordenades per a totes les rectes llevat para aquelles que passen per l'orige. Les interpretacions geomètriques de l i de m són els recíprocs negatius del tall en l'eix x i el tall en l'eix i respectivament.

L'exclusió de llínees que passen per l'orige es pot resoldre utilisant un sistema de tres coordenades (l, m, n) per a especificar la recta en l'equació:

lx + my + n = 0

Ací l i m no poden ser abdós 0. En esta equació, solament les relacions entre l, m i n són significatives, en atres paraules, si les coordenades es multipliquen per un escalar distint de zero, la recta representada permaneix sent la mateixa. Llavors (l, m, n) és un sistema de coordenades homogénees per a qualsevol recta donada.

Si els punts en el pla proyectivo real estan representats per coordenades homogénees (x, i, z), l'equació genèrica de la recta és

lx + my + nz = 0

de manera que (l, m, n) ≠ (0,0,0). En particular, les coordenades (0, 0, 1) representen la recta

z = 0

que és la recta de l'infinit en el pla proyectivo. Les coordenades de la recta (0, 1, 0) i (1, 0, 0) representen els eixos x i i respectivament.

De forma simplificada:

• El paràmetro n indica si una recta pansa pel orige de coordenades o no (val 0 si passa per l'orige, i 1 si no passa)
• Quan els paràmetros l o m valen 0, es poden assimilar a la condició d'un valor infinit de la distància des de l'orige al punt de tall en l'eix corresponent. Per eixemple, quan l=0, es té una recta horisontal (que talla l'eix x en l'infinit); i quan m=0 es té una recta vertical (que talla l'eix i en l'infinit).

Equacions tangencials

Aixina com l'equació

f (x, i) = 0

pot representar una curva com un subconjunt dels punts en el pla, l'equació

φ (l,  m) = 0

representa un subconjunt de rectes en el pla. En un sentit abstracte, el conjunt de les rectes del pla pot ser considerat com el conjunt de punts en un pla proyectivo, el dual del pla original. L'equació

φ (l, m) = 0

representa una curva en el pla dual.

Per a una curva

f (x, i) = 0

en el pla, les rectes tangentes a la curva formen una curva en l'espai dual, denominada curva dual. Si

φ (l, m) = 0

és l'equació de la curva dual, llavors també es diu equació tangencial de la curva original. Esta equació representa una curva en el pla original, determinada com envolvente de les llínees que la satisfan.

De la mateixa manera, si

φ (l, m, n)

és una funció homogénea, llavors

φ (l, m, n) = 0

representa una curva en l'espai dual donada en coordenades homogénees, i pot cridar-se l'equació tangencial homogénea de la curva envolvente.

Les equacions tangencials són útils en l'estudi de curves definides com envolventes, de la mateixa manera que les equacions cartesianas són útils en l'estudi de curves definides com a llocs geomètrics.

Vore també

• Convencions robòtiques

Bibliografia

• (1923).«Principles of geometry. Volume 3. Solid geometry. Quadrics, cubic curves in space, cubic surfaces.».Cambridge University Press.. Reimpreso 2010.