Curva dual

Eixemple de curves duals entre sí (consulte's a continuació propietats)

En geometria proyectiva, una curva dual d'una curva plana C donada és una segona curva en del pla proyectivo dual conjunt de llínees tangentes a C. Existix una aplicació entre una curva i el seu dual, fent correspondre cada punt al punt dual a la seua llínea tangente. Si C és una curva algebraica, llavors també ho és el seu dual i el grau de la curva dual es coneix com la classe de la curva original. L'equació de la curva dual de C, donada en coordenades llineals, es coneix com la equació tangencial de C.

La construcció de la curva dual és la base geomètrica de la transformada de Legendre en el context de la mecànica hamiltoniana.

Equacions

Siga f(x, i, z) = 0 l'equació d'una curva en coordenades homogénees, i siga Xx + Yy + Zz = 0 l'equació d'una recta, en (X, I, Z) sent les coordenades de la recta. La condició de que la llínea siga tangente a la curva es pot expressar en la forma F(X, I, Z) = 0, que és l'equació tangencial de la curva.

Siga (p, q, r) el punt de la curva, llavors l'equació de la tangente en este punt ve donada per

$x\frac{\partial f}{\partial x}(p,q,r)+y\frac{\partial f}{\partial y}(p,q,r)+z\frac{\partial f}{\partial z}(p,q,r)=0.$

Llavors Xx + Yy + Zz = 0 és una tangente a la curva si

$\begin{array}{cc}X& =\lambda \frac{\partial f}{\partial x}(p,q,r),\\ Y& =\lambda \frac{\partial f}{\partial y}(p,q,r),\\ Z& =\lambda \frac{\partial f}{\partial z}(p,q,r).\end{array}$

En eliminar p, q, r i λ d'estes equacions, junt en Xp + Yq + Zr = 0, s'obté l'equació en X, I i Z de la curva dual.

Archiu:Dual.webm

Per eixemple, siga C la cònica ax² + by² + cz² = 0. Llavors, la curva dual es determina eliminant p, q, r i λ de les equacions

$\begin{array}{cc}X& =2\lambda ap,\\ Y& =2\lambda bq,\\ Z& =2\lambda cr,\end{array}Xp+Yq+Zr=0.$

Les primeres tres equacions es resolen fàcilment per a p, q, r, i la substitució en l'última equació produïx

$\frac{X^2}{2\lambda a}+\frac{Y^2}{2\lambda b}+\frac{Z^2}{2\lambda c}=0.$

Rebujant 2λ dels denominadors, l'equació de la curva dual és

$\frac{X^2}{a}+\frac{Y^2}{b}+\frac{Z^2}{c}=0.$

Per a una curva definida paramétricament, la seua curva dual està definida per les següents equacions paramètriques:

$\begin{array}{cc}X& =\frac{y^{\prime }}{y{x}^{\prime }-x{y}^{\prime }}\\ Y& =\frac{x^{\prime }}{x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }}\end{array}$

El dual d'un punt d'inflexió donarà una cim i dos punts que compartixen la mateixa llínea tangente donaran un punt d'auto-intersecció en el dual.

Grau

Si X és una curva algebraica plana, llavors el grau del seu dual és el número de punts d'intersecció en una llínea recta en el pla dual. Ya que una llínea en el pla dual correspon a un punt en el pla, el grau del dual és el número de tangentes a el X que es poden traçar a través d'un punt donat. Els punts a on estes tangentes toquen la curva són els punts d'intersecció entre la curva i la curva polar sobre el punt donat. Si el grau de la curva és d, llavors el grau de la polar és d − 1 i, per lo tant, el número de tangentes que es poden traçar a través del punt donat és com a màxim d(d − 1).

El dual d'una llínea recta (una curva de grau 1) és una excepció a esta regla i es considera un punt en l'espai dual (és dir, la llínea original). Es considera que el dual d'un sol punt és la colecció de llínees rectes a través del punt; açò forma una llínea en l'espai dual que correspon al punt original.

Si X és suau, és dir, no posseïx punts singulars, llavors el dual de X té el grau màxim d(d − 1). Si X és una cònica, açò implica que el seu dual també és una cònica. Açò també es pot vore geomètricament: l'aplicació entre una cònica i el seu dual és una relació un-a-un (ya que cap llínea recta és tangente a dos punts d'una cònica, ya que això requeriria una curva de grau 4), i la llínea tangente varia suaument (ya que la curva és convexa, per lo que la pendent de la llínea tangente canvia monòtonament: els cims en el dual requerixen un punt d'inflexió en la curva original, lo que requerix un grau 3).

Per a curves en punts singulars, estos punts també estaran en l'intersecció de la curva i el seu polar i açò reduïx el número de possibles llínees rectes tangentes. El grau del dual dau en térmens del valor de d i del número i tipos de punts singulars de X és una de les fòrmules de Plücker.

Vore també

• Polígon dual
• Transformada de Hough
• Aplicació de Gauss

Bibliografia

• (1988).«Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations».Springer.
• (1998).«Intersection Theory».Springer-Verlag.
• (1950).«Algebraic Curves».Princeton.
• (1986).«Plane Algebraic Curves».Birkhäuser.