Envolvente (matemàtiques)

Envolvente (matemàtiques)

Construcció de la envolvente d'una família de curves.

En geometria, una envolvente d'una família de curves en el pla és una curva que és tangente a cada membre de la família en algun punt, i estos punts de tangència junts formen la envolvente completa. Clásicament, un punt en la envolvente es pot considerar com l'intersecció de dos curves "infinitesimalment adjacents", és dir, el llímit de l'intersecció de dos curves la separació de les quals tendix a zero. Esta idea es pot generalisar a una envolvente de superfícies en l'espai, i aixina successivament a dimensions més altes.

Per a posseir una envolvente, els membres individuals de la família deuen ser curves diferenciables, ya que de lo contrari el concepte de tangència no s'aplica, i té que haver una transició suau a través dels seus membres. Pero inclús si es complixen estes condicions, una família determinada pugues no tindre una envolvente. Un eixemple simple d'este cas és una família de circumferències concèntriques de ràdio creixent.

Envolvente d'una família de curves

Considere's que cada curva C_t d'una família és la solució d'una equació f_t (x, i) = 0 (vore curva implícita), a on t és un paràmetro. Per un atre costat, es té que F (t, x, i) = f_t (x, i); i s'assumix que F és diferenciable.

La envolvente de la família C_t es definix llavors com el conjunt $𝒟$ de punts (x, i) para el que, simultàneament,

$F(t,x,y)=0𝗒\frac{\partial F}{\partial t}(t,x,y)=0$

per a algun valor de t, a on $\partial F/\partial t$ és la derivada parcial de F sobre t.

Si t i o, en t ≠ o, són dos valors del paràmetro, llavors l'intersecció de les curves C_t i C_o ve donada per

$F(t,x,y)=F(u,x,y)=0$

o equivalentement,

$F(t,x,y)=0𝗒\frac{F(u,x,y)-F(t,x,y)}{u-t}=0.$

Fent o → t s'obté la definició anterior.

Un cas especial important és quan F (t, x, i) és un polinomi en t. Açò inclou, per eliminació de denominadors, el cas en el que F (t, x, i) és una funció racional en t. En este cas, la definició equival a t sent una raïl doble de F (t, x, i), per lo que l'equació de la envolvente es pot trobar en establir la condició de que el discriminante de F siga 0 (perque la definició exigix que F = 0 en algun t i la primera derivada = 0, és dir, que el seu valor siga 0 implica un mínim o un màxim de la funció en eixe t).

Per eixemple, fent que C_t siga la llínea les interseccions de la qual x i i són t i 11-t, s'obté l'animació anterior. L'equació de C_t és llavors

$\frac{x}{t}+\frac{y}{11-t}=1$

o, simplificant les fraccions,

$x(11-t)+yt-t(11-t)=t^2+(-x+y-11)t+11x=0.$

L'equació de la envolvente és llavors

$(-x+y-11{)}^2-44x=(x-y{)}^2-22(x+y)+121=0.$

A sovint, quan F no és una funció racional del paràmetro, es pot reduir a este cas per mig d'una substitució apropiada. Per eixemple, si la família ve donada per C_θ en una equació de la forma o (x, i) cosθ + v (x, i) senseθ =w(x, i), despuix posant t=i^iθ, cosθ = (t + 1 / t) / 2, senseθ = (t - 1 / t) / 2i, canvia l'equació de la curva a

$u\frac{1}{2}(t+\frac{1}{t})+v\frac{1}{2i}(t-\frac{1}{t})=w$

o

$(u-iv)t^2-2wt+(u+iv)=0.$

L'equació de la envolvente es dona despuix establint el discriminante en 0:

$(u-iv)(u+iv)-w^2=0$

o

$u^2+v^2=w^2.$

Definicions alternatives

1. La envolvente I₁ és el llímit de les interseccions de les curves propenques C_t.
2. La envolvente I₂ és una curva tangente a tots els C_t.
3. La envolvente I₃ és el llímit de la regió ocupada per les curves C_t.

Després $E_1\subseteq 𝒟$, $E_2\subseteq 𝒟$ i $E_3\subseteq 𝒟$, a on $𝒟$ és el conjunt de punts definits al principi de la secció principal d'esta subsección.

Eixemples

Eixemple 1

Estes definicions de I₁, I₂ i I₃ de la envolvente poden ser conjunts diferents. Considere's per eixemple la curva i = x³ parametrizada per γ : R → R² a on γ(t) = (t, t³). La família de curves donada per un paràmetro vindrà donada per les llínees tangentes a γ.

Primer es calcula el discriminante $𝒟$. La funció generadora és

$F(t,(x,y))=3t^{2}x-y-2t^3.$

Cálculando la derivada parcial F_t = 6t(x – t). Es deduïx que, o be x = t, o t = 0. Primer s'assumix que x = t i que t ≠ 0. Substituint en F: $F(t,(t,y))=t^3-y$ i aixina, suponent que t ≠ 0, es deduïx que F = F_t = 0 solament si (x,i) = (t,t³). Després, suponent que t = 0 i substituint en F resulta F(0,(x,i)) = −i. Llavors, assumint que t = 0, es deduïx que F = F_t = 0 solament si i = 0. Per lo tant, el discriminante és la curva original i la seua llínea tangente en γ (0):

$𝒟=\{(x,y)\in {ℝ}^2:y=x^3\}\cup \{(x,y)\in {ℝ}^2:y=0\}.$

Després es calcula I₁. Una curva és donada per F(t,(x,i)) = 0 i una curva propenca és donada per F(t + ε,(x,i)) a on ε és un número tan chicotet com es desige. El punt d'intersecció prové de calcular el llímit de F(t,(x,i)) = F(t + ε,(x,i)) ya que ε tendix a zero. Cal tindre en conte que F(t,(x,i)) = F(t + ε,(x,i)) si i solament si

$L:=F(t,(x,y))-F(t+\epsilon ,(x,y))=2{\epsilon }^3+6\epsilon t^2+6{\epsilon }^{2}t-(3{\epsilon }^2+6\epsilon t)x=0.$

Si t ≠ 0, llavors L té solament un factor depenent de ε. Suponent que t ≠ 0, l'intersecció ve donada per

$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{1}{\epsilon }L=6t(t-x).$

Sent t ≠ 0 es deduïx que x = t. El valor i es calcula sabent que este punt deu estar en una llínea tangente a la curva original γ, tal que F(t,(x,i)) = 0. Substituint i resolent dona i = t³. Quan t = 0, L és divisible per ε². Suponent que t = 0, l'intersecció està donada per

$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{1}{{\epsilon }^2}L=3x.$

D'ahí se seguix que x = 0, i sabent que F(t,(x,i)) = 0 s'obté i = 0. Resulta que

$E_1=\{(x,y)\in {ℝ}^2:y=x^3\}.$

Després es calcula I₂. La curva en sí és la curva que és tangente a totes les seues pròpies llínees tangentes. Resulta que

$E_2=\{(x,y)\in {ℝ}^2:y=x^3\}.$

Finalment es calcula I₃. Cada punt en el pla té a lo manco una llínea tangente a γ que passa a través d'ell, per lo que la regió plena per les llínees tangentes és tot el pla. El llímit I₃ és, per lo tant, el conjunt buit. De fet, considerant un punt en el pla (x₀, i₀), este punt es troba en una llínea tangente si i solament si existix un t tal que

$F(t,(x_0,y_0))=3t^2{x}_0-y_0-2t^3=0.$

Açò és una tercera potència en t, i com a tal, té a lo manco una solució real. Es deduïx que a lo manco una llínea tangente a γ deu passar per mig de qualsevol punt donat en el pla. Si i > x³ i i > 0, cada punt ( x , i ) té exactament una llínea tangente a γ que passa per ella. Lo mateix és cert si i < x³ i < 0. Si i < x³ i i > 0, llavors cada punt (x, i) té exactament tres llínees tangentes distintes per a que γ passe a través d'ell. Lo mateix és cert si i > x³ i i < 0. Si i = x³ i i ≠ 0, cada punt (x, i) té exactament dos llínees tangentes per a que γ passe per ell (açò correspon a que la gaveta té una raïl ordinària i una raïl repetida). Lo mateix és cert si i ≠ x³ i i = 0. Si i = x³ i x = 0, és dir, x = i = 0, este punt té una sola llínea tangente a γ que passa per ell (açò correspon a que la gaveta té una raïl real de multiplicitat 3). Resulta que

$E_3=\varnothing .$

Eixemple 2

Este gràfic mostra la envolvente de la família de llínees que conecten els punts (t,0), (0,k - t), fins que k alcança el valor 1.

En art en fils tensats és comú realisar una conexió creuada de dos alliniacions de alfileres equiespaciados. ¿Quina curva es forma?

Per a simplificar les fòrmules resultants, es configuren els alfileres en els eixos x i i. Un disseny que no fora ortogonal pot reduir-se a un que sí ho siga per mig d'una rotació i un escalat. Un fil general en llínea recta conecta els dos punts (0, k −t) i (t, 0), a on k és una constant d'escala arbitrària, i la família de llínees es genera variant el paràmetro t. A partir de la simple relació geomètrica, l'equació d'esta llínea recta és i = −(k − t) x / t + k − t.

Reordenando i reescrivint en la forma F (x, i, t) = 0, s'obté:

$F(x,y,t)=t^2+t(y-x-k)+kx=0$

(1)

Ara, diferenciant F (x, i, t) sobre t en la condició de que el resultat siga igual a zero, s'obté

$\frac{\partial F(x,y,t)}{\partial t}=2t+y-x-k=0$

(2)

Estes dos equacions definixen conjuntament l'equació de la envolvente. De (2) es té que t = (−i + x + k) / 2. Substituint este valor de t en (1) i simplificant, proporciona una equació per a la envolvente en térmens de x i i exclusivament:

$x^2-2xy+y^2-2kx-2ky+k^2=0$

Esta és la familiar forma implícita d'una secció cònica, en este cas un paràbola. Les paràboles es mantenen com a paràboles baix rotació i escalamiento; per lo tant, el hilorama forma un arc parabòlic (un arc, ya que solament es produïx una porció de la paràbola completa). En este cas, una rotació en sentit antihorario de 45° dona l'equació parabòlica ortogonal

i = x² / ( kPlantilla:Raïl) + k / (2Plantilla:Raïl)

El pas final per a eliminar t no sempre és possible fer-ho analíticament, depenent de la forma de F (x, i, t).

Eixemple 3

Siga I ⊂ R un interval obert tal que γ: I → R² siga una curva plana uniforme parametrizada per la llongitut d'arc. Considere's la família caracterisada per un paràmetro de llínees normals a γ (I). Una llínea és normal a γ en γ(t ) si passa per mig de γ (t) i és perpendicular al vector tangente a γ en γ(t). Siguen T el vector unitari de la tangente a γ i N el vector normal unitat. Usant la notació d'un punt (•) per a denotar el producte escalar, la família generadora monoparamétrica de llínees normals ve donada per l'expressió F : I &claves; R² → R a on

$F(t,𝐱)=(𝐱-\gamma (t))\cdot 𝐓(t).$

Clarament (x − γ) · T = 0 si i solament si x − γ és perpendicular a T, o equivalentement, si i solament si x − γ és paralela a N, o equivalentement, si i solament si x = γ + λ N per a algun λ ∈ R. Resulta que

$L_{t_0}:=\{𝐱\in {ℝ}^2:F(t_0,𝐱)=0\}$

és exactament la llínea normal a γ en γ (t₀). Per a trobar el discriminante de F es necessita calcular la seua derivada parcial sobre t:

$\frac{\partial F}{\partial t}(t,𝐱)=\kappa (t)(𝐱-\gamma (t))\cdot 𝐍(t)-1,$

a on κ és la curvatura de γ. S'ha vist que F = 0 si i solament si x - γ = λ N per a algun λ ∈ R. Suponent que F = 0 dona

$\frac{\partial F}{\partial t}=\lambda \kappa (t)-1.$

i suponent que κ ≠ 0 es deduïx que λ = 1/κ, i aixina

$𝒟=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}𝐍(t).$

Esta és exactament l'evoluta de la curva γ.

Eixemple 4

Un astroide com la envolvente de la família de llínees que conecten els punts (s,0), (0,t) en s² + t² = 1

El següent eixemple mostra que, en alguns casos, la envolvente d'una família de curves pot vore's com el llímit topològic d'una unió de conjunts, els llímits dels quals són les curves de la envolvente. Per a $s>0$ i $t>0$, considere's el triàngul rectàngul (obert) en un pla cartesiano en vèrtiços $(0,0)$, $(s,0)$ i $(0,t)$

$T_{s,t}:=\{(x,y)\in {ℝ}_{+}^2:\frac{x}{s}+\frac{y}{t}<1\}.$

Elegixca's un exponent $\alpha >0$ i considere's l'unió de tots els triànguls $T_{s,t}$ subjectes a la restricció $s^{\alpha }+t^{\alpha }=1$, és dir, el conjunt obert

${\Delta }_{\alpha }:=\bigcup _{s^{\alpha }+t^{\alpha }=1}{T}_{s,t}.$

Per a escriure una representació cartesiana de ${\Delta }_{\alpha }$, comence's en qualsevol $s>0$, $t>0$ que satisfaça $s^{\alpha }+t^{\alpha }=1$ i qualsevol $(x,y)\in {ℝ}_{+}^2$. La desigualtat de Hölder en ${ℝ}^2$ sobre els exponents conjugats $p:=1+\frac{1}{\alpha }$ i $q:=1+\alpha$ resulta:

$x^{\frac{\alpha }{\alpha +1}}+y^{\frac{\alpha }{\alpha +1}}\le {(\frac{x}{s}+\frac{y}{t})}^{\frac{\alpha }{\alpha +1}}(s^{\alpha }+t^{\alpha }{)}^{\frac{1}{\alpha +1}}={(\frac{x}{s}+\frac{y}{t})}^{\frac{\alpha }{\alpha +1}}$,

en igualtat si i solament si $s:t=x^{\frac{1}{1+\alpha }}:y^{\frac{1}{1+\alpha }}$. En térmens d'una unió de conjunts, l'última desigualtat indica que el punt $(x,y)\in {ℝ}_{+}^2$ pertany al conjunt ${\Delta }_{\alpha }$, és dir, pertany a algun $T_{s,t}$ en $s^{\alpha }+t^{\alpha }=1$, si i solament si satisfà que

$x^{\frac{\alpha }{\alpha +1}}+y^{\frac{\alpha }{\alpha +1}}<1.$

Ademés, el llímit en ${ℝ}_{+}^2$ del conjunt ${\Delta }_{\alpha }$ és la envolvente de la família corresponent de segments de llínea talws que

$\{(x,y)\in {ℝ}_{+}^2:\frac{x}{s}+\frac{y}{t}=1\},s^{\alpha }+t^{\alpha }=1$

(és dir, les hipotenuses dels triànguls), i té una equació cartesiana

$x^{\frac{\alpha }{\alpha +1}}+y^{\frac{\alpha }{\alpha +1}}=1.$

Observe's que, en particular, el valor $\alpha =1$ dona l'arc de la paràbola de l'eixemple 1, i el valor $\alpha =2$ (lo que significa que totes les hipotenuses són segments de llongitut unitària) dona l'astroide.

Eixemple 5

La envolvente de les òrbites dels proyectils llançats per un canó (en la mateixa velocitat inicial donada) és una paràbola cóncava. La velocitat inicial és 10 m/s, i s'ha pres g = 10 m/s².

Considere's el següent eixemple de envolvente d'un moviment. Supongam que en l'altura inicial 0, es llança un proyectil a l'aire en una velocitat inicial constant v, pero en diferents ànguls d'elevació θ. Sent x l'eix horisontal del pla en el que es produïx el moviment, i i l'eix vertical. Llavors, el moviment dona el següent sistema dinàmic diferencial:

$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=-g,\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=0,$

que satisfà quatre condicions inicials:

$\frac{dx}{dt}{|}_{t=0}=v\cos \theta ,\frac{dy}{dt}{|}_{t=0}=v\sin \theta ,x{|}_{t=0}=y{|}_{t=0}=0.$

Ací t indica el temps del moviment, θ és l'àngul d'elevació, g denota l'intensitat del camp gravitatorio, i v és una constant que indica la velocitat inicial. La solució del sistema anterior pot descriure's per la funció implícita:

$F(x,y,\theta )=x\tan \theta -\frac{g{x}^2}{2v^2{\cos }^2\theta }-y=0.$

Per a trobar l'equació de la seua envolvente, pot calcular-se la derivada indicada:

$\frac{\partial F}{\partial \theta }=\frac{x}{{\cos }^2\theta }-\frac{g{x}^2\tan \theta }{v^2{\cos }^2\theta }=0.$

En eliminar θ, resulta la següent equació de la envolvente:

$y=\frac{v^2}{2g}-\frac{g}{2v^2}{x}^2.$

Clarament, la envolvente resultant és també una paràbola cóncava.

Vore també

• Superfície reglada
• Càustica (matemàtiques)