Càustica (matemàtiques)

Càustica generada a partir de la reflexió de rajos paralels sobre un arc de circumferència

En geometria diferencial i òptica geomètrica, una càustica és l'envolvente dels rajos reflectits o refractados per un colector. Està relacionada en el concepte de càustica en òptica. La font del raig pot ser un punt (cridat radiant) o rajos paralels des d'un punt en l'infinit, en el cas del qual deu especificar-se un vector de direcció dels rajos.

De manera més general, especialment quan s'aplica a la geometria simpléctica i a la teoria de la singularitat, una càustica és el conjunt de valors crítics d'una aplicació lagrangiana (π ○ i) : L ↪ M ↠ B; a on i : L ↪ M és una immersió lagrangiana d'una subvariedad lagrangiana L en una varietat simpléctica M, i π : M ↠ B és una fibración lagrangiana de la varietat simpléctica M. La càustica és un subconjunt del espai base B de la fibración lagrangiana.^[1]

Catacáustica

Una catacáustica es correspon en el cas d'una reflexió.

Donat un element radiant, és l'evoluta de l'ortotomía de l'element radiant.

En el cas pla de rajos procedents d'una font paralela, es pot caracterisar el vector de direcció com $(a, b)$ i la curva de l'espill es parametriza com $(u (t), v (t))$ . El vector normal en un punt és $(- v^{'} (t), u^{'} (t))$ . Considerant que la normal s'obté per mig d'una normalisació especial, la reflexió del vector de direcció és:

2 {proj}_{n} d - d = \frac{2 n}{\sqrt{n \cdot n}} \frac{n \cdot d}{\sqrt{n \cdot n}} - d = 2 n \frac{n \cdot d}{n \cdot n} - d = \frac{(a v'^{2} - 2 b u^{'} v^{'} - a u'^{2}, b u'^{2} - 2 a u^{'} v^{'} - b v'^{2})}{v'^{2} + u'^{2}}

Les components del vector reflectit trobat es tracten com una tangente

(x - u) (b u'^{2} - 2 a u^{'} v^{'} - b v'^{2}) = (y - v) (a v'^{2} - 2 b u^{'} v^{'} - a u'^{2}) .

Usant la forma d'envolvente més simple

F (x, y, t) = (x - u) (b u'^{2} - 2 a u^{'} v^{'} - b v'^{2}) - (y - v) (a v'^{2} - 2 b u^{'} v^{'} - a u'^{2})

= x (b u'^{2} - 2 a u^{'} v^{'} - b v'^{2}) - y (a v'^{2} - 2 b u^{'} v^{'} - a u'^{2}) + b (u v'^{2} - u u'^{2} - 2 v u^{'} v^{'}) + a (- v u'^{2} + v v'^{2} + 2 u u^{'} v^{'})

F_{t} (x, y, t) = 2 x (b u^{'} u^{″} - a (u^{'} v^{″} + u^{″} v^{'}) - b v^{'} v^{″}) - 2 y (a v^{'} v^{″} - b (u^{″} v^{'} + u^{'} v^{″}) - a u^{'} u^{″})

+ b (u^{'} v'^{2} + 2 u v^{'} v^{″} - u'^{3} - 2 u u^{'} u^{″} - 2 u^{'} v'^{2} - 2 u^{″} v v^{'} - 2 u^{'} v v^{″}) + a (- v^{'} u'^{2} - 2 v u^{'} u^{″} + v'^{3} + 2 v v^{'} v^{″} + 2 v^{'} u'^{2} + 2 v^{″} u u^{'} + 2 v^{'} u u^{″})

Esta transformació pot no semblar molt elegant, pero aplicant $F = F_{t} = 0$ es genera un sistema llineal en $(x, y)$ i per això és elemental obtindre una parametrización de la catacáustica. La regla de Cramer servix per a resoldre el sistema.

Eixemple

Siga el vector de direcció (0,1) i siga un espill en la forma $(t, t^{2}) .$ Després

u^{'} = 1

u^{″} = 0

v^{'} = 2 t

v^{″} = 2

a = 0

b = 1

F (x, y, t) = (x - t) (1 - 4 t^{2}) + 4 t (y - t^{2}) = x (1 - 4 t^{2}) + 4 t y - t

F_{t} (x, y, t) = - 8 t x + 4 y - 1

i $F = F_{t} = 0$ té la solució $(0, 1 / 4)$ ; és dir, la llum que entra en un espill parabòlic paralelament al seu eix es reflectix a través del foc de la paràbola.

Referències

↑ Arnold, V. I.; Varchenko, {{{nom2}}}; Gusein-Zade, {{{nom3}}} (1985). The Classification of Critical Points, Caustics and Wave Fronts: Singularities of Differentiable Maps, Vol 1, Birkhäuser. ISBN 0-8176-3187-9.

Vore també

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Cáustica (matemáticas)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Arnold-1] Arnold, V. I.; Varchenko, {{{nom2}}}; Gusein-Zade, {{{nom3}}} (1985). The Classification of Critical Points, Caustics and Wave Fronts: Singularities of Differentiable Maps, Vol 1, Birkhäuser. ISBN 0-8176-3187-9.

[1]