Podaria

Archiu:Parabel fusspunkkurve zissoide diokles.svg

Podaria

Construcció geomètrica de la podaria de la curva C respecte al punt P

Es diu podaria de la curva C sobre el punt P al lloc geomètric de les proyeccions ortogonals de P sobre les tangentes de la curva C.

Definicions

Una curva podaria s'obté a partir de la proyecció ortogonal d'un punt fix sobre les tangentes d'una curva donada. Més precisament, per a un curva plana C i un determinat punt podal P, la curva podaria de C és el lloc geomètric dels punts X de modo que la recta PX és perpendicular a una tangente T a la curva que passa pel punt X.

Pel contrari, per a qualsevol punt R en la curva C, tal que T siga la tangente en eixe punt R; hi ha un únic punt X en la tangente T que forma en el punt podal P una recta perpendicular a la tangente T (per al cas especial quan el punt fix P es troba en la tangente T, els punts X i P coincidixen) - la curva podaria és el conjunt de dits punts X, cridats peu de cada perpendicular a la tangente T des del punt fix P, a mida que el punt variable R recorre la curva C.

Complementant la curva podaria, hi ha un punt únic I en la llínea normal a C en R per al que PY siga perpendicular a la normal, per lo que PXRY és un rectàngul (en alguns casos degenerado). El lloc geomètric dels punts I es diu curva contrapodaria.

La ortótomica d'una curva és la seua podaria magnificada per un factor de 2, de modo que el centre de homotecia és P. Est és el lloc geomètric del reflex de P a través de cada llínea tangente T.

La curva és la primera d'una série de curves C₁, C₂, C₃, etc., a on C₁ és la podaria de C, C₂ és la podaria de C₁, i aixina successivament. En este esquema, C₁ és coneguda com la primera podaria positiva de C, C₂ és la segona podaria positiva de C, i aixina successivament. Anant en l'atra direcció, C és la primera podaria negativa de C ₁, la segona podaria negativa de C₂, etc.^[1]

Equacions

Equació cartesiana

Prenga's P com l'orige de coordenades. Per a una curva donada per l'equació F (x, i) = 0, si l'equació de la tangente en R = (x₀, i₀) s'escriu en la forma

\cos α x + \sin α y = p

llavors el vector (cos α, sen α) és paralel al segment PX, i la llongitut de PX, que és la distància des de la llínea tangente a l'orige, és p. Llavors X es representa en coordenades polars (p, α) reemplaçant (p, α) per (r, θ), lo que produïx l'equació polar de la curva podaria.^[2]

Archiu:PedalCurve1.gif

Podaria (roig) d'una elipse (negre). Ací a=2 i b=1 i l'equació de la podaria pren la forma 4x²+i²=(x²+i²)²

Per eixemple,^[3] per a la elipse

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

la llínea tangente en R = (x₀, i₀) és

\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1

i escriure açò en la forma donada dalt requerix que

\frac{x_{0}}{a^{2}} = \frac{\cos α}{p}, \frac{y_{0}}{b^{2}} = \frac{\sin α}{p} .

L'equació per a la elipse es pot usar per a eliminar x₀ i i₀ donant

a^{2} \cos^{2} α + b^{2} \sin^{2} α = p^{2},

i la conversió a (r, θ) dona

a^{2} \cos^{2} θ + b^{2} \sin^{2} θ = r^{2},

com l'equació polar de la podaria. Açò es convertix fàcilment en una equació cartesiana com

a^{2} x^{2} + b^{2} y^{2} = (x^{2} + y^{2})^{2} .

Equació polar

Siga P l'orige i estiga la curva C donada en coordenades polars per mig de r = f(θ). Siga R = (r, θ) un punt de la curva i siga X = (p, α) el punt corresponent en la curva podaria. Si ψ denota l'àngul entre la llínea tangente i el vector del radi, també conegut com àngul polar tangencial. Està donat per

r = \frac{d r}{d θ} \tan ψ .

Llavors

p = r \sin ψ

i

α = θ + ψ - \frac{π}{2} .

Estes equacions es poden usar per a produir una equació en p i α que, quan es traduïx a r i θ dona una equació polar per a la curva podaria.^[4]

Per eixemple,^[5] sent la coordenada x de la circumferència donada per r = a cos θ, llavors

a \cos θ = - a \sin θ \tan ψ

aixina que

\tan ψ = - \cot θ, ψ = \frac{π}{2} + θ, α = 2 θ .

i també

p = r \sin ψ = r \cos θ = a \cos^{2} θ = a \cos^{2} \frac{α}{2} .

Llavors l'equació polar de la podaria és

r = a \cos^{2} \frac{θ}{2} .

Equació podal

Els equació podal d'una curva i la seua podaria estan estretament relacionades. Si es pren P com a punt podal i l'orige de coordenades, llavors es pot demostrar que l'àngul ψ entre la curva i el vector del radi en un punt R és igual a l'àngul corresponent per a la curva de la podaria en el punt X. Si p és la llongitut de la perpendicular traçada des de P a la tangente de la curva (és dir, PX) i q és la llongitut de la perpendicular corresponent extreta de P a la tangente a la podaria, entoncws, per triànguls similars

\frac{p}{r} = \frac{q}{p} .

Es deduïx immediatament que si l'equació podal de la curva és f (p, r) = 0, llavors l'equació podal per a la curva podarua és^[6]

f (r, \frac{r^{2}}{p}) = 0

A partir d'esta igualtat, totes les podarias positives i negatives es poden calcular fàcilment si es coneix l'equació podal de la curva.

Equacions paramètriques

Archiu:Contrapedal.gif

Contrapodaria de la elipse anterior

Archiu:PedalCurve3.gif

Podaria de la evoluta de la elipse: coincidix en la contrapodaria de la elipse inicial

Siga $\vec{v} = P - R$ el vector de R a P i siguen

\vec{v} = {\vec{v}}_{∥} + {\vec{v}}_{⊥}

,

les components tangencial i normal de $\vec{v}$ sobre la curva. Llavors ${\vec{v}}_{∥}$ és el vector de R a X des del que es pot calcular la posició de X.

Específicament, si c és una parametrización de la curva, llavors

t \mapsto c (t) + \frac{c^{'} (t) \cdot (P - c (t))}{| c^{'} (t) |^{2}} c^{'} (t)

parametriza la curva podaria (sense tindre en conte els punts a on c' és zero o indefinit).

Per a una curva definida paramétricament, la seua curva podaria en el punt podal (0; 0) es definix com

X [x, y] = \frac{(x y^{'} - y x^{'}) y^{'}}{x'^{2} + y'^{2}}

Y [x, y] = \frac{(y x^{'} - x y^{'}) x^{'}}{x'^{2} + y'^{2}} .

La curva contrapodaria ve donada per:

t \mapsto P - \frac{c^{'} (t) \cdot (P - c (t))}{| c^{'} (t) |^{2}} c^{'} (t)

En el mateix punt podal, la curva contrapodaria és la curva podaria de l'evoluta de la curva donada.

Propietats geomètriques

Considere's un àngul recte movent-se rígidamente per a que un dels seus costats passe pel punt "P" i l'atre siga tangente a la curva. Llavors, el vèrtiç d'este àngul és X i traça la curva podaria. A mida que l'àngul es mou, la seua direcció de moviment en P'- és paralela a PX' i la seua direcció de moviment en R és paralela a la tangente T = RX. Per lo tant, el centre instantàneu de rotació és l'intersecció de la llínea perpendicular a PX en P i perpendicular a RX en R, i este punt és I. D'ací es deduïx que la tangente a la podaria en X és perpendicular a XY.

Dibuixe's una circumferència en diàmetro PR, després circumscriga's el rectàngul PXRY i XY és un atre diàmetro. La circumferència i la podaria són abdós perpendiculars a XY per lo que són tangentes en X. Per lo tant, la podaria és l'envolvente de les circumferències en diàmetros PR, a on R es troba en la curva.

La llínea recta YR és normal a la curva i la envolvente de tals normals és la seua evoluta. Per lo tant, YR és tangente a la evoluta i el punt I és el peu de la perpendicular des de P a esta tangente. En atres paraules, I està en la podaria de la evoluta. Es deduïx que la contrapodaria d'una curva és la podaria de la seua evoluta.

Siga C la curva obtinguda en reduir C per un factor de 2 cap a P. Llavors, el punt R' corresponent a R és el centre del rectàngul PXRY, i la tangente a C' en R' dividix este rectàngul en paralel a PY i a XR. Un raig traçat des de P i reflectit per C' en R' passarà després a través de I. El raig reflectit, quan s'estén, és la llínea XY, perpendicular a la podaria de C. La envolvente de les rectes perpendicular a la podaria és llavors la envolvente dels rajos reflectits o la catacáustica de C' . Açò demostra que la catacáustica d'una curva és la evoluta de la seua ortotómica.

Com es va senyalar anteriorment, el círcul en diàmetro PR és tangente a la podaria. El centre d'este círcul és R' , que seguix la curva C' . Es deduïx que la envolvente de círculs a través d'un punt fix i els centres del qual es troben en una curva donada és la ortotómica de la curva.

Siga D una curva congruent a C. D roda sense esgolar, com en la definició d'una ruleta, en C per a que D' sempre siga el reflex de C' sobre la llínea a la que són mútuament tangentes. Després, quan les curves es toquen en R' , el punt corresponent a P en el pla mòvil és X, per lo que la ruleta és la curva podaria. De forma equivalent, la ortotómica d'una curva és la ruleta de la curva en la seua image especular.

Eixemple

Archiu:PedalCurve2.gif

Caragol de Pascal — curva podaria d'una circumferència

Quan C és una circumferència, la discussió anterior mostra que les següents definicions d'un caragol de Pascal són equivalents:

És la podaria d'una circumferència.
És la envolvente de circumferències els diàmetros de les quals tenen un punt final en un punt fix i un atre punt final que seguix una circumferència.
És la envolvente de circumferències a través d'un punt fix els centres del qual seguixen una circumferència.
És la ruleta formada per una circumferència que roda al voltant d'una atra circumferència en el mateix radi.

També s'ha demostrat que la catacáustica d'una circumferència és la evoluta d'una curva coneguda com caragol de Pascal.

Podarias de curves específiques

Les podarias d'algunes curves específiques són:^[7]

Curva	Equació	Punt podal	Curva podaria
Circumferència		Punt de la circumferència	Cardioide
Circumferència		Qualsevol punt	Caragol de Pascal
Paràbola		Foc	La tangente en el vèrtiç
Paràbola		Vèrtiç	Cisoide de Diocles
Deltoide		Centre	Trifolio
Cònica centrada		Foc	Elipse
Cònica centrada	$\frac{x^{2}}{a^{2}} \pm \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$	Centre	$a^{2} \cos^{2} θ \pm b^{2} \sin^{2} θ = r^{2}$ (una hipopoda)
Hipérbola rectangular		Centre	Lemniscata de Bernoulli
Espiral logarítmica		Pol	Espiral logarítmica
Espiral sinusoidal	$r^{n} = a^{n} \cos n θ$	Pol	$r^{\frac{n}{n + 1}} = a^{\frac{n}{n + 1}} \cos \frac{n}{n + 1} θ$ (una atra espiral sinusoidal)

Vore també

Anex:Llista de curves

Referències

Notes

↑ Edwards p. 165
↑ Edwards p. 164
↑ Follows Edwards p. 164 with m=1
↑ Edwards p. 164-5
↑ Follows Edwards p. 165 with m=1
↑ Williamson p. 228
↑ Edwards p. 167

Fonts

Llectures adicionals

Differential and integral calculus: with applications by George Greenhill (1891) p326 ff. (Google books)

J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves, Dover Publications, p. 60. ISBN 0-486-60288-5.
"Note on the Problem of Pedal Curves" by Arthur Cayley

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Podaria» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Edwards p. 165

[2] Edwards p. 164

[3] Follows Edwards p. 164 with m=1

[4] Edwards p. 164-5

[5] Follows Edwards p. 165 with m=1

[6] Williamson p. 228

[7] Edwards p. 167

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]