Cisoide de Diocles

Cisoide de Diocles

Cisoide de Diocles. En cada punt M, es complix que OM = M₁M₂

La cisoide de Diocles és una curva plana que dona nom a la família de les cisoides. És generada pel vector posició d'una recta paralela a l'eix OY (Curva 1), que passa pel punt (2a,0), al que se li resta el radi vector d'una circumferència de radi a i centre en (a,0) (Curva 2).

La seua equació, en coordenades polars és:

$\rho ={\rho }_1-{\rho }_2=\frac{2a}{\cos \omega }-2a\cos \omega =2a\frac{{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}}^2\omega }{\cos \omega }$

I en coordenades cartesianas:

$y^2=\frac{x^3}{2a-x}$

Va ser amprada pel matemàtic grec Diocles en l'esforç de donar solució al problema clàssic de la duplicació de la gaveta (també conegut com a problema de Delos o problema deliano) en el II a. C.

Generalitats

Animació del traçat de la Cisoide de Diocles

La cisoide de Diocles és una curva cúbica plana notable per la propietat de que pot usar-se per a construir dos miges proporcionals segons una raó donada. En particular, es pot utilisar para duplicar el volum d'una gaveta. Pot definir-se com la cisoide d'una circumferència i d'una llínea recta tangente sobre el punt de la circumferència opost al punt de tangència. De fet, la família de curves de les cisoides rep el seu nom d'esta curva, i alguns autors es referixen a ella simplement com "la" cisoide.

Posseïx una única cim en el pol i és simètrica sobre el diàmetro de la circumferència, diàmetro que a la seua volta és la tangente en el cim. La recta que definix la cisoide és la seua asíntota. És un membre de la família de les curves de relacionades en la concoide de De Sluze, i per la seua forma s'assembla a una tractriz.

La paraula "cisoide" prové del grec antic "κισσοειδής" (kissoeidēs), "en forma de full d'hedra"; a partir de "κισσός" kissos "hedra" i "-οειδής-" (oeidēs), "que s'assembla a". La curva du el nom de Diocles, qui la va estudiar en el II

Propietats

La curva té un eix de simetria, l'eix OX. Té un punt de reculada, l'orige de coordenades.

• Considerant com una relació el valor de x recorre l'interval [0,2a>; el valor recorre l'interval obert < -∞, +∞>
• La seua asíntota és la recta x=2a.
• L'àrea entre la curva i l'asíntota és A=3πa²
• Si es considera l'asíntota x=4, el volum del sòlit generat per rotació de la cisoide tenint com a eix tal asíntota, és V=16π²
• La curva podal de la cisoide, quan el punt de proyecció està situat en l'eix més allà de l'asíntota, a una distància del cim quatre voltes major que la de l'asíntota, és una cardioide.
• Si el cim de la cisoide es pren com a centre d'inversió, la cisoide s'invertix en una paràbola.
• La càustica de la cisoide quan el punt radiant es pren com (8a, 0) és una cardioide.
• Si els punts P i Q estan sobre la cisoide de modo que PQ subtiende un àngul recte en O, llavors el lloc geomètric d'intersecció de les tangentes en P i Q es troba en la circumferència en diàmetro (a/2,0), (2a,0).

Vore també

• Concoide de De Sluze
• Concoide de Durero
• Curves
• Estrofoide
• Trisectriz de Maclaurin
• Cisoide

Bibliografia

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves, Dover Publications, pp. 95, 98–100. ISBN 0-486-60288-5.
• Cissoid of Diocles en MathWorld.
• "Cissoid of Diocles" en Diccionari visual de curves planes especials
• "Cissoide de Diocles" en l'índex de curves famoses de MacTutor
• "Cissoid" en 2dcurves.com
• "Cissoïde de Dioclès ou Cissoïde Droite" en Encyclopédie dones Formes Mathématiques Remarquables (en francés)
• "The Cissoid" Un tractat elemental sobre curves cúbiques i cuárticas Alfred Barnard Basset (1901) Cambridge pp. 85ff