Equació podal

Archiu:Coordenadas podales.png

Coordenades podales d'una curva: donat un orige O, per a cada punt P de la curva, es determina el parell de valors r (distància OP) i p (distància des d'O a la perpendicular a la tangente en P que passa per O)

Per a un curva plana C i un punt fix dau O, la equació podal de la curva és una relació entre r i p, a on r és la distància des de O a un punt en C i p és la distància perpendicular des de O a la tangente a C en el punt considerat. El punt O es diu punt podal i els valores r i p es diuen coordenades podales d'un punt relatiu a la curva i al punt podal. També és útil medir la distància de O a la normal $p_c$ (la coordenada contrapodal) encara que no és una cantitat independent i es relaciona en $(r,p)$ com $p_c:=\sqrt{r^2-p^2}$.

Algunes curves tenen equacions podales particularment simples, per lo que poden simplificar el càlcul d'algunes de les seues propietats, com la curvatura. Estes coordenades també són adequades per a resoldre certs tipos de problemes de força en mecànica clàssica i mecànica celest.

Equacions

Coordenades cartesianas

Per a C donada en coordenades cartesianas per f (x, i) = 0, i en O pres com a orige, les coordenades podales del punt (x, i) estan donades per:

$r=\sqrt{x^2+y^2}$

$p=\frac{x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}}{\sqrt{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}^2}}.$

L'equació podal es pot trobar eliminant x i i d'estes equacions i de l'equació de la curva.

L'expressió per a p es pot simplificar si l'equació de la curva s'escriu en coordenades homogénees introduint una variable z, de modo que l'equació de la curva siga g (x, i, z) = 0. El valor de p ve dau per

$p=\frac{\frac{\partial g}{\partial z}}{\sqrt{{\left(\frac{\partial g}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial g}{\partial y}\right)}^2}}$

a on el resultat s'obté per a z = 1

Coordenades polars

Per a C donada en coordenades polars per r = f(θ), llavors

$p=r\sin \varphi$

a on ψ és l'àngul tangencial polar donat per

$r=\frac{dr}{d\theta }\tan \varphi .$

L'equació podal es pot deduir eliminant θ d'estes equacions.

Alternativament, de lo anterior, es té que

$\left|\frac{dr}{d\theta }\right|=\frac{r{p}_c}{p},$

a on $p_c:=\sqrt{r^2-p^2}$ és la coordenada "contrapodal", és dir, la distància a la normal. Açò implica que si una curva satisfà una equació diferencial autònoma en coordenades polars de la forma:

$f(r,\left|\frac{dr}{d\theta }\right|)=0,$

la seua equació de podal es convertix en

$f(r,\frac{r{p}_c}{p})=0.$

Eixemple

Com a eixemple, prenga's l'espiral logarítmica en l'àngul en espiral α:

$r=a{e}^{\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\theta }.$

Diferenciant sobre $\theta$ s'obté

$\frac{dr}{d\theta }=\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }a{e}^{\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\theta }=\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }r,$

per lo tant

$\left|\frac{dr}{d\theta }\right|=\left|\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\right|r,$

i aixina en coordenades podales resulta

$\frac{r}{p}{p}_c=\left|\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\right|r,\Rightarrow |\sin \alpha |p_c=|\cos \alpha |p,$

o utilisant el fet de que $p_c^2=r^2-p^2$ s'obté

$p=|\sin \alpha |r.$

Este enfocament pot generalisar-se per a incloure equacions diferencials autònomes de qualsevol orde de la següent manera: Una curva C, solució d'una n-ésima equació diferencial autònoma ($n\ge 1$) en coordenades polars

$f(r,|r{\text{'}}_{\theta }|,r^{\prime }{\text{'}}_{\theta },|r^{″}{\text{'}}_{\theta }|\dots ,r_{\theta }^{(2j)},|r_{\theta }^{(2j+1)}|,\dots ,r_{\theta }^{(n)})=0,$

és la podaria d'una curva donada en coordenades de podales per

$f(p,p_c,p_c{p_c}^{\prime },p_c(p_c{p_c}^{\prime }{)}^{\prime },\dots ,(p_c{\partial }_p{)}^{n}p)=0,$

a on la diferenciació es fa sobre $p$.

Problemes de forces

Les solucions a alguns problemes de forces de la mecànica clàssica es poden obtindre de manera sorprenentment fàcil en coordenades de podales.

Considere's un sistema dinàmic:

$\ddot{x}=F^{\prime }(|x{|}^2)x+2G^{\prime }(|x{|}^2){\dot{x}}^{\perp },$

descrivint l'evolució d'una partícula de prova (en posició $x$ i velocitat $\dot{x}$) en el pla en presència d'una força central $F$ i potencial de Lorentz $G$. Les cantitats:

$L=x\cdot {\dot{x}}^{\perp }+G(|x{|}^2),c=|\dot{x}{|}^2-F(|x{|}^2),$

es conserven en este sistema.

A continuació, la curva traçada per $x$ es dona en coordenades podales per

$\frac{{(L-G(r^2))}^2}{p^2}=F(r^2)+c,$

en el punt podal en l'orige. Este fet va ser descobert per P. Blaschke en 2017.

Eixemple

Com a eixemple, considere's el cridat problema de Kepler, és dir, el cas d'una força central, que varia inversamente en el quadrat de la distància:

$\ddot{x}=-\frac{M}{|x{|}^3}x,$

Es pot aplegar a la solució de colp i repent en coordenades podales

$\frac{L^2}{p^2}=\frac{2M}{r}+c,$,

a on $L$ correspon al moment angular de la partícula i $c$ a la seua energia. Per lo tant, s'ha obtingut l'equació d'una secció cònica en coordenades podales.

Inversamente, per a una curva donada C, es pot deduir fàcilment quines forces cal impondre sobre una partícula de prova per a moure's sobre ella.

Equacions podales per a curves específiques

Espirals sinusoidals

Per a una espiral sinusoidal descrita segons la fòrmula

$r^n=a^n\sin (n\theta )$

l'àngul tangencial polar és

$\psi =n\theta$

que produïx l'equació podal

$p{a}^n=r^{n+1}.$

L'equació podal per a un numeroses curves conegudes es pot obtindre donant a n valores específics:

n	Curva	Punt podal	Equació podal
1	Circumferència de radi a	Punt en la circumferència	pa = r2
−1	Recta	Punt a una distància a de la recta	p = a
Plantilla:Frac	Cardioide	Cúspude	p2a = r3
−Plantilla:Frac	Paràbola	Foc	p2 = ar
2	Lemniscata de Bernoulli	Centre	pa2 = r3
−2	Hipérbola	Centre	rp = a2

Espirals

Una curva espiral de la forma

$r=c{\theta }^{\alpha },$

satisfà l'equació

$\frac{dr}{d\theta }=\alpha r^{\frac{\alpha -1}{\alpha }},$

i aixina es pot convertir fàcilment en coordenades podales com

$\frac{1}{p^2}=\frac{{\alpha }^2{c}^{\frac{2}{\alpha }}}{r^{2+\frac{2}{\alpha }}}+\frac{1}{r^2}.$

Els casos especials inclouen:

$\alpha$	Curva	Punt podal	Equació podal
1	Espiral de Arquímedes	Orige	$\frac{1}{p^2}=\frac{1}{r^2}+\frac{c^2}{r^4}$
−1	Espiral hiperbòlica	Orige	$\frac{1}{p^2}=\frac{1}{r^2}+\frac{1}{c^2}$
Plantilla:Frac	Espiral de Fermat	Origin	$\frac{1}{p^2}=\frac{1}{r^2}+\frac{c^4}{4r^6}$
−Plantilla:Frac	Lituus	Orige	$\frac{1}{p^2}=\frac{1}{r^2}+\frac{r^2}{4c^4}$

Epicicloide i hipocicloides

Per a una epi o hipocicloide donada per equacions paramètriques

$x(\theta )=(a+b)\cos \theta -b\cos \left(\frac{a+b}{b}\theta \right)$

$y(\theta )=(a+b)\sin \theta -b\sin \left(\frac{a+b}{b}\theta \right),$

l'equació podal sobre l'orige és

$r^2=a^2+\frac{4(a+b)b}{(a+2b{)}^2}{p}^2$

o

$p^2=A(r^2-a^2)$

en

$A=\frac{(a+2b{)}^2}{4(a+b)b}.$

Els casos especials que s'obtenen en establir b = Plantilla:Frac per a valors específics de n inclouen:

n	Curva	Equació podal
1, −Plantilla:Frac	Cardioide	$p^2=\frac{9}{8}(r^2-a^2)$
2, −Plantilla:Frac	Nefroide	$p^2=\frac{4}{3}(r^2-a^2)$
−3, −Plantilla:Frac	Deltoide	$p^2=-\frac{1}{8}(r^2-a^2)$
−4, −Plantilla:Frac	Astroide	$p^2=-\frac{1}{3}(r^2-a^2)$

Atres curves

Atres equacions podales són:

Curva	Equació	Punt podal	Equació podal
Recta	$ax+by+c=0$	Orige	$p=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Punt	$(x_0,y_0)$	Orige	$r=\sqrt{x_0^2+y_0^2}$
Circumferència	$|x-a|=R$	Orige	$2pR=r^2+R^2-|a{|}^2$
Involuta d'una circumferència	$r=\frac{a}{\cos \alpha },\theta =\tan \alpha -\alpha$	Orige	$p_c=|a|$
Elipse	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	Centre	$\frac{a^2{b}^2}{p^2}+r^2=a^2+b^2$
Hipérbola	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	Centre	$-\frac{a^2{b}^2}{p^2}+r^2=a^2-b^2$
Elipse	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	Foc	$\frac{b^2}{p^2}=\frac{2a}{r}-1$
Hipérbola	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	Foc	$\frac{b^2}{p^2}=\frac{2a}{r}+1$
Espiral logarítmica	$r=a{e}^{\theta \cot \alpha }$	Pol	$p=r\sin \alpha$
Óval cartesiano	$|x|+\alpha |x-a|=C,$	Foc	$\frac{(b-(1-{\alpha }^2)r^2{)}^2}{4p^2}=\frac{Cb}{r}+(1-{\alpha }^2)Cr-((1-{\alpha }^2)C^2+b),b:=C^2-{\alpha }^2|a{|}^2$
Óval de Cassini	$|x||x-a|=C,$	Foc	$\frac{(3C^2+r^4-|a{|}^2{r}^2{)}^2}{p^2}=4C^2(\frac{2C^2}{r^2}+2r^2-|a{|}^2).$
Óval de Cassini	$|x-a||x+a|=C,$	Centre	$2Rpr=r^4+R^2-|a{|}^2.$

Vore també

• Podaria

Bibliografia

• R.C. Yates (1952). «Pedal Equations», A Handbook on Curves and Their Properties, Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 166 ff..

• P. Blaschke (2017). “Pedal coordinates, dark Kepler and other force problems”. Journal of Mathematical Physics 58/6.