Lemniscata

Generalisació del concepte: lemniscata de tres focs

Archiu:Lemniscate of Bernoulli NURBS.png

Lemniscata de Bernouilli

Plantilla:Per a En geometria algebraica, una lemniscata és una qualsevol de vàries curvas en figura en forma de huit (8) o de símbol d'infinit ($\mathrm{\infty }$).

La paraula prové del llatí "lēmniscāles teues", que significa "decorat en cintes", a la seua volta procedent del grec "λημνίσκος" que significa "cintes", que també pot referir-se a la forma de la madeixa de llana de la que es fabricaven les citades cintes.

Les curves generalment denominades lemniscata inclouen tres curves cuárticas: la hipopoda, la lemniscata de Bernoulli, i la lemniscata de Gerono. L'estudi de les lemniscatas (i en particular de la hipopoda) es remonta a la matemàtica helènica, pero el terme "lemniscata" per a curves d'este tipo prové del treball de Jakob Bernoulli a finals de el XVII.

Història i eixemples

Lemniscata de Booth

Archiu:Lemniscate of Booth.png

Lemniscata de Booth

Artícul principal → Hipopoda.

La consideració de les curves en una figura en forma de huit es remonta a Proclo, un filòsof i matemàtic grec del neoplatonismo que va viure en el V Proclo va considerar les seccions d'un bou per plans paralels a l'eix del bou. Com va observar, per a la majoria de les seccions, la secció travessera consistix en un o dos óvals; no obstant, quan el pla és tangente a la superfície interna del bou, la secció travessera pren una figura en forma de huit, a la que va denominar en la paraula grega hipopoda (per la seua similitut en la lligaça utilisada per a immovilisar dos de les pates d'un cavall mantenint-les juntes). El nom "lemniscata de Booth" per a esta curva es remonta al seu estudi per part del matemàtic de el XIX James Booth.

La lemniscata es pot definir com un curva algebraica, el conjunt de zeros del polinomi cuártico $(x^2+y^2{)}^2-c{x}^2-d{y}^2$ quan el paràmetro d és negatiu. Per a valors positius de d s'obté una hipopoda.

Lemniscata de Bernoulli

Archiu:Lemniskate bernoulli2.svg

Lemniscata de Bernoulli

Artícul principal → Lemniscata de Bernoulli.

En 1680, Cassini va estudiar una família de curves, ara cridades óvals de Cassini, definida de la següent manera: el lloc geomètric de tots els punts tals que el producte de les seues distàncies respecte a dos punts fixos, els focs, és una constant. En circumstàncies molt particulars (quan la mitat de la distància entre els focs és igual a la raïl quadrada de la constant), açò dona lloc a una lemniscata de Bernouilli.

En 1694, Johann Bernoulli va estudiar el cas de la lemniscata dins de la família dels óvals de Cassini (que passaria a ser coneguda com la lemniscata de Bernoulli mostrat dalt), en relació en un problema de isócronas que havia segut plantejat anteriorment per Gottfried Leibniz. De la mateixa manera que la hipopoda, és una curva algebraica, el conjunt de zeros del polinomi $(x^2+y^2{)}^2-2a^2(x^2-y^2)$. El germà de Bernoulli, Jakob Bernoulli, també va estudiar la mateixa curva eixe mateix any, i li va donar el seu nom. També es pot definir geomètricament com el lloc dels punts el producte dels quals de distàncies des de dos focs és igual al quadrat de la mitat de la distància interfocal. És un cas especial de la hipopoda (lemniscata de Booth), en $d=-c$, i pot formar-se com una secció travessera d'un bou tal que el seu orifici intern i les seues seccions circulares tenen el mateix diàmetro. Les funcions lemniscáticas elíptiques són les anàlogues a les funcions trigonométricas per a la lemniscata de Bernoulli, i les constants de la lemniscata sorgixen en calcular la llongitut d'arc d'este curva.

Lemniscata de Gerono

Archiu:Lemniscate-of-Gerono2.svg

Lemniscata de Gerono: conjunt de solucions de x⁴−x²+i²=0

Artícul principal → Lemniscata de Gerono.

Una atra lemniscata, la lemniscata de Gerono o lemniscata de Huygens, és el conjunt de zeros del polinomi cuártico $y^2-x^2(a^2-x^2)$. La curva de Viviani, una curva tridimensional formada per l'intersecció d'una esfera en un cilindre, també té una figura de huit, i pren la forma de la lemniscata de Gerono quan es proyecta sobre un pla.

Atres

Atres curves algebraiques en forma de figura huit inclouen:

• La curva del diable, una curva definida per l'equació cuártica $y^2(y^2-a^2)=x^2(x^2-b^2)$, una de les components de la qual conexas té forma de huit,
• Curva de Watt, una curva en forma de huit generada per un enllaç mecànic. La curva de Watt és el conjunt de zeros de l'equació polinomial de grau sis $(x^2+y^2)(x^2+y^2-d^2{)}^2+4a^2{y}^2(x^2+y^2-b^2)=0$ i inclou a la lemniscata de Bernoulli com un cas especial.
• Besace, curva estudiada per Gabriel Cramer, en l'equació $c^{2}y=b{x}^2+ax\sqrt{c^2-x^2}$ o $c^{2}y=b{x}^2-ax\sqrt{c^2-x^2}$, en $c=\sqrt{a^2+b^2}$.

Generalisació

En geometria analítica, considere's n punts del pla F₁, F₂, ...,F_n i k un número real estrictament positiu. El conjunt dels punts del pla el producte del qual de les distàncies a cada u dels punts F₁, F₂,...,F_n és constant i igual a k és una curva (lloc geomètric) cridada lemniscata de n focs. La lemniscata de Bernoulli té solament dos focs.

Una lemniscata d'un sol foc és una circumferència.

Vore també

• Analema, la curva en forma de figura de huit traçada per les posicions al migdia del sol en el cel durant un any
• Atractor de Lorenz, un sistema dinàmic tridimensional que exhibix la forma d'una lemniscata
• Lemniscatas com còniques generalisades