Curva de Viviani

Vista en perspectiva de la curva de Viviani

La curva de Viviani o finestra de Viviani és la curva algebraica tancada (definida en l'espai tridimensional) generada a partir de l'intersecció entre l'esfera centrada en l'orige i de ràdio R i el cilindre d'eix $x=R,y=0$ i de radi $R/2$. És un cas particular de curva clelia.

Orige històric

Vincenzo Viviani va propondre en 1692 el problema d'arquitectura següent:

Es tracta de perforar una cúpula hemisfèrica per quatre finestres, de tal manera que la superfície restant de la cúpula siga cuadrable.

John Wallis, Gottfried Leibniz i Johann Bernoulli varen estudiar de forma natural el cas simple de finestres circulares, i varen tindre que estudiar la curva intersecció del cilindre i de l'hemisferi, donant a esta curva el nom de «finestra de Viviani».

Equacions de la curva de Viviani

Es tenen les representacions següents (per a una esfera de ràdio R):

Sistema de coordenades cartesianas:

$x^2+y^2+z^2=R^2$

$(x-R/2{)}^2+y^2=(R/2{)}^2$

Parametrización cartesiana:

$x=R{\cos }^{2}u$

$y=R\cos u\sin u$

$z=R\sin u$

també equivalent a: (en $u=t/2$)

$x=(R/2)(1+\cos t)$

$y=(R/2)\sin t$

$z=R\sin (t/2)$

La seua llongitut coincidix en la d'una elipse de semieixos $(R)$ i $(R\sqrt{2})$ ; calculable per mig d'una integral elíptica.

El valor aproximat és de $L\approx 7,64R$

Vore també

• Clelia

Referències

• Michel Chasles, Aperçu historique sur l'origine et li dévéloppement dones méthodes en géométrie (1837), impr. Hayez, Brusseles
• Michel Serres, Li système de Leibnitz et ses modèles mathématiques (1968, reed. 2007) edició. PUF, coll. Épiméthée (ISBN 2130433898 )
• (francés) Denis Lanier. «Leibniz, la nouvelle analyse te la géométrie ou enquête sur la fenêtre de Viviani» p. 203-227. NUMDAM: Cahiers du séminaire de histoire dones mathématiques, vol. 8, 1987. [Consulta: 28 oct. 2007].