Tautócrona

Archiu:Tautochrone curve.gif

Quatre punts esgolen sobre una cicloide des de diferents posicions, pero apleguen al final al mateix temps. Les fleches blaves mostren l'acceleració dels punts a lo llarc de la curva. Dalt s'observa el diagrama temps-posició

Archiu:Objects representing tautochrone curve 03.gif

Objecte que representa la curva tautócrona

Una tautócrona o curva isócrona (dels prefixos grecs tauto- que significa mateix o iso- igual, i chrono temps) és la curva per a la qual el temps pres per un objecte que esgola sense rozamiento en gravetat uniforme fins al seu punt més baix és independent del seu punt de partida. Esta curva és una cicloide, i el seu temps ve determinat per la següent fòrmula:

$t=\pi \sqrt{\frac{r}{g}}$

El problema de la tautócrona

L'intent d'identificar la curva de la tautócrona va ser resolt per Christiaan Huygens en 1659. Va demostrar geomètricament en el seu Horologium Oscillatorium, originalment publicat en 1673, que la curva és un cicloide.

En una cicloide l'eix del qual s'eleva sobre la perpendicular i el vèrtiç de la qual està localisat en el fondo, el temps de descens en el qual un cos aplega al punt més baix, al vèrtiç, despuix d'haver partit des de qualsevol punt de la cicloide, és igual a qualsevol atre…

Christiaan Huygens

Huygens també va demostrar que el temps de descens és igual a l'hora que tarda un cos en caure verticalment la mateixa distància (el diàmetro del círcul que genera la cicloide) multiplicat per ^π⁄₂. En térmens moderns, açò significa que el temps de descens és $\pi \sqrt{r/g}$, a on r és el radi del círcul que genera el cicloide i g és la gravetat..

Esta solució va ser posteriorment utilisada per a abordar el problema de la curva braquistócrona. Jakob Bernoulli va resoldre el problema usant el càlcul en un artícul (Acta Eruditorum, 1690) que va ser el primer artícul publicat usant la paraula integral.

Archiu:CyloidPendulum.png

Esquema d'una péndola cicloidal.

El problema de la tautócrona va ser estudiat en més deteniment quan es va observar que una péndola, que descriu una trayectòria circular, no era isócrono i per tant, el seu rellonge de péndola mediria diferents temps segons lo gran que anara l'oscilació. Despuix de determinar la trayectòria correcta, Christiaan Huygens va intentar crear un rellonge de péndola que usara una corda per a suspendre el pes de la péndola prop de lo alt de la cadena per a canviar la trayectòria al d'una curva tautócrona. Estos intents varen demostrar no ser útils per una série de raons. Primer, la curvatura de la cadena causa fricció, la qual cosa altera el periodo. Segon, hi havia moltes més fonts d'error en la medició del temps (anulant qualsevol millora teòrica) que ajudes proporcionava la tautócrona. Finalment, el "error circular" d'una péndola decreix conforme decreix la llongitut de l'oscilació. Aixina que millors escapes de rellonge podrien reduir significativament esta font d'imprecisió.

Archiu:Isochronous cycloidal pendula.gif

Representació esquemàtica de cinc péndoles cicloidales isócronos, és dir que posseïxen la mateixa freqüència independentment de les seues amplitut.

Posteriorment, Joseph Louis Lagrange i Leonhard Euler varen proporcionar una solució analítica al problema.