Horologium Oscillatorium

Archiu:Huygens - Horologium oscillatorium, sive De motu pendulorum ad horologia aptato demonstrationes geometricae, 1673 - 869780.jpeg

Horologium Oscillatorium

Horologium Oscillatorium: Sive de Motu Pendulorum ad Horologia Aptato Demonstrationes Geometricae (El rellonge de péndola: o demostracions geomètriques relatives al moviment de les péndoles aplicades als rellonges) és un llibre publicat per Christiaan Huygens en 1673 i el seu principal obra sobre péndoles i horología. Es considera una de les tres obres més importants sobre mecànica de el XVII, sent les atres dos la de Galileo de Discursos i demostracions matemàtiques relatives a dos noves ciències (1638) i la de Newton Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, d'Isaac Newton (1687).

Molt més que una mera descripció de rellonges, el Horologium Oscillatorium de Huygens és el primer tractat modern en el que un problema físic (el moviment accelerat d'un cos que cau) és idealizado a través d'un conjunt de paràmetros i després s'analisa matemàticament, i constituïx una de les obres fonamentals de la matemàtica aplicada. El llibre també és conegut per la seua estranya dedicatòria a Luis XIV. L'aparició del llibre en 1673 va ser una qüestió política, ya que en eixe moment la República holandesa estava en guerra en França; Huygens estava ansiós per mostrar la seua llealtat al seu patró, lo que es pot vore en la obsequiosa dedicatòria Luis XIV.

Antecedents

Archiu:Georg Sturm, uitvinding van het slingeruurwerk door Christiaan Huygens.jpg

Invenció del rellonge de péndola per Christiaan Huygens per Georg Sturm (c. 1885)

L'us de les péndoles per a donar l'hora no era nou, sino que ya havia segut propost per persones dedicades a les observacions astronòmiques, com Galileo. Els rellonges mecànics, en canvi, es regulaven per mig de balances que a sovint eren molt poc fiables. Ademés, sense rellonges fiables, no hi havia una bona forma de medir la llongitut en la mar, lo que era especialment problemàtic per a un país depenent del comerç marítim com la República Holandesa. L'interés de Huygens per utilisar un péndola suspés lliurement per a regular els rellonges va començar en sério en decembre de 1656 i a l'any següent ya tenia un model funcional, que va patentar i després va comunicar a atres estudiosos com Frans van Schooten i Claude Mylon. Encara que el disseny de Huygens, publicat en el títul Horologium (1658), era una combinació d'idees ya existents, no obstant es va fer àmpliament popular i va dur a que es construïren molts rellonges de péndola i inclús es readaptaren a torres de rellonge ya existents, com les de Scheveningen i Utrecht.

Huygens va començar a estudiar matemàticament el problema de la caiguda lliure poc despuix, en 1659, obtenint una série de resultats notables. Al mateix temps, era conscient de que els periodos de les péndoles simples no són perfectament tautócronos, és dir, no guarden el temps exacte sino que depenen en certa mida de la seua amplitut. Huygens es va interessar per trobar una manera de fer que la massa d'una péndola es moguera de forma fiable i independent de la seua amplitut. L'alvanç va aplegar més vesprada, eixe mateix any, quan va descobrir que la capacitat de mantindre el temps perfecte es pot conseguir si la trayectòria de la bobina de la péndola és una cicloide. No obstant, no tenia clar qué forma donar a les galtes metàliques que regulen la péndola per a conduir la bobina en una trayectòria cicloidal. La seua famosa i sorprenent solució va ser que les galtes devien tindre també la forma d'un cicloide, en una escala determinada per la llongitut de la péndola. Estos i atres resultats varen dur a Huygens a desenrollar el seu teoria de les evolucions i li varen proporcionar la motivació per a escriure una obra molt major, que es va convertir en el Horologium Oscillatorium (1673).

Despuix de 1673, durant la seua estància en la Academie dones Sciences, Huygens va estudiar l'oscilació harmònica de forma més general i va continuar en el seu intent de determinar la llongitut en la mar utilisant els seus rellonges de péndola, pero els seus experiments portats a terme en barcos no varen tindre molt èxit.

Composició

Archiu:Clock.jpg

Ilustració del rellonge de péndola experimental de 1673 de Huygens de Horologium Oscillatorium.

En el prefacio, Huygens afirma lo següent:

Perque no està en la naturalea d'una simple péndola proporcionar medicions iguals i fiables del temps... Pero per un método geomètric hem trobat una manera diferent i abans desconeguda de suspendre la péndola... [de modo que] el temps de l'oscilació pot elegir-se igual a algun valor calculat

El llibre està dividit en cinc parts interconectadas. La primera i l'última part del llibre contenen descripcions de dissenys de rellonges. El restant del llibre està dedicat a l'anàlisis del moviment del péndola i a una teoria de les curves. A excepció de la part IV, escrita en 1664, la totalitat del llibre es va compondre en un periodo de tres mesos que va començar en octubre de 1659.

Partix I: Descripció del rellonge oscilante

Huygens dedica la primera part del llibre a descriure en detalle el seu disseny d'un rellonge de péndola oscilante. Inclou descripcions de la cadena sense fi, d'una agulla en forma de lent per a reduir la resistència de l'aire, d'un chicotet pes per a ajustar l'oscilació de la péndola, d'un mecanisme d'escape per a conectar la péndola als engranages i de dos fines plaques metàliques en forma de cicloides montades a abdós costats per a llimitar el moviment pendular. Esta part termina en una taula per a ajustar la desigualtat de la dia solar, una descripció sobre cóm dibuixar un cicloide, i una discussió sobre l'aplicació dels rellonges de péndola per a la determinació de la llongitut en l'mar.

Part II: Caiguda de pesos i moviment a lo llarc d'una cicloide

En la segona part del llibre, Huygens planteja tres hipòtesis sobre el moviment dels cossos. Són essencialment la llei de l'inèrcia i la llei de composició del moviment. Utilisa estes tres regles per a reconduir geomètricament l'estudi original de Galileo sobre cossos que cauen, incloent la caiguda llineal a lo llarc de plans inclinats i la caiguda a lo llarc d'una trayectòria curva. A continuació, estudia la caiguda constreñida, culminant en una demostració de que un cos que cau a lo llarc d'una cicloide invertida aplega al fondo en un temps fix, independentment del punt de la trayectòria en el que comença a caure. Açò, en efecte, mostra la solució al problema de la tautócrona com donada per una curva cicloide. En notació moderna:

$(\pi /2)\surd (2D/g)$

Les següents proposicions es tracten en la Part II:

Propostes	Descripció
1-8	Cossos que cauen lliurement i a través de plans inclinats.
9-11	Caiguda i ascens en general.
12-15	Tangente de la cicloide, història del problema i generalisació a curves similars.
16-26	Caiguda a través d'una cicloide.

Part III: Tamany i evolució de la curva

Archiu:Cycloid f.gif

Una ilustració d'un círcul rodante que forma una cicloide

En la tercera part del llibre, Huygens introduïx el concepte d'evoluta com la curva que es "desenrolla" (llatí: evolutus) per a crear una segona curva coneguda com involuta. A continuació, utilisa les evolutas per a justificar la forma cicloidal de les plaques primes de la primera part. Huygens va descobrir originalment el isocronisme de la cicloide utilisant tècniques infinitesimals, pero en la seua publicació final va recórrer a les proporcions i a la reductio ad absurdum, a la manera d'Arquímedes, para rectificar curves com la cicloide, la paràbola i unes atres curves d'orde superior.

Les següents proposicions es tracten en la Part III:

Propostes	Descripció
1-4	Definicions d'evolutiu, involutivo, i la seua relació.
5-6, 8	Evolució de la cicloide i de la paràbola.
Rectificació de la cicloide, paràbola semicúbica i història del problema.
9b-i	Superfícies de círculs iguals a conoides; rectificació de la paràbola igual a quadratura de l'hipérbola; aproximació per logaritmos.
10-11	Evolució de elipses, hipérboles i d'una curva qualsevol; rectificació d'eixos eixemples.

Part IV: Centre d'oscilació o moviment

La quarta i més llarga part del llibre s'ocupa de l'estudi del centre d'oscilació. Huygens introduïx paràmetros físics en el seu anàlisis mentres aborda el problema del péndola composta. Comença en una série de definicions i procedix a derivar proposicions utilisant el Principi de Torricelli: que el centre de gravetat dels objectes pesats no pot alçar-se a sí mateixa, que Huygens va utilisar com principi de treball virtual. En el procés, Huygens va obtindre solucions a problemes dinàmics com el periodo d'una péndola oscilante aixina com el d'una péndola composta, el centre d'oscilació i la seua intercambiabilidad en el punt de gir, i el concepte de moment d'inèrcia i la constant de l'acceleració gravitatoria. Fa us, implícitament, de la fòrmula de caiguda lliure. En notació moderna:

$d=1/2g{t}^2$

Les següents proposicions es tracten en la Part IV:

Propostes	Descripció
1-6	Péndola simple equivalent a una péndola composta en pesos iguals a la seua llongitut.
7-20	Centre d'oscilació d'una figura plana i la seua relació en el centre de gravetat.
21-22	Centres d'oscilació de figures planes i sòlides comunes.
23-24	Ajust del rellonge de péndola a un pes menut; aplicació a una péndola ciclodial.
25-26	Mida universal de la llongitut basada en la segona péndola; constant d'acceleració gravitacional.

Partix V: Disseny alternatiu i força centrífuga

L'última part del llibre torna al disseny d'un rellonge en el que el moviment de la péndola és circular, i la corda es desenrolla a partir de l'evolució d'una paràbola. Termina en tretze proposicions relatives als cossos en moviment circular uniforme, sense proves, i enuncia les lleis de la força centrífuga per al moviment circular uniforme. Les proves d'estes proposicions varen ser publicades póstumamente en el De Vaig vore Centrifuga (1703).