Moment d'inèrcia

Archiu:Fouetté en tournant ( caps block 0 109996904033).gif

Una ballarina tindrà menys moment d'inèrcia si contrau els braços, girant més ràpit que si els estenguera.

El moment d'inèrcia (símbol I) és una mida de la inèrcia rotacional d'un cos. Quan un cos gira entorn a un dels eixos principals d'inèrcia, l'inèrcia rotacional pot ser representada com una magnitut vectorial cridada moment d'inèrcia. No obstant, en el cas més general possible l'inèrcia rotacional deu representar-se per mig d'un conjunt de moments d'inèrcia i components que formen el cridat tensor d'inèrcia. La descripció tensorial és necessària per a l'anàlisis de sistemes complexos, per eixemple en moviments giroscòpics.

El moment d'inèrcia reflectix la distribució de massa d'un objecte o d'un sistema de partícules en rotació, respecte a un eix de gir. El moment d'inèrcia solament depén de la geometria del cos i de la posició de l'eix de gir; pero no depén de les forces que intervenen en el moviment.

El moment d'inèrcia eixercita un paper anàlec al de la massa inercial en el cas del moviment rectilíneo i uniforme. És el valor escalar del moment angular llongitudinal d'un sòlit rígit.

Introducció

Quan un cos és lliure de girar al voltant d'un eix, es deu aplicar un parell per a canviar el seu moment cinètic. La cantitat de parell necessari per a causar una determinada acceleració angular (la taxa de canvi en la velocitat angular) és proporcional al moment d'inèrcia del cos. Els moments d'inèrcia es poden expressar en unitats de quilogram per metro quadrat (kg·m²) en unitats del SI o en lliura-peu-segon al quadrat (lbf·ft·s²) en unitats imperials o d'unitats tradicionals dels Estats Units.

El moment d'inèrcia juga el paper en la cinètica rotacional que la massa (inèrcia) juga en la cinètica llineal; abdós caracterisen la resistència d'un cos als canvis en el seu moviment. El moment d'inèrcia depén de cóm es distribuïxca la massa al voltant d'un eix de rotació i variarà segons l'eix elegit. Per a una massa puntual, el moment d'inèrcia sobre algun eix està donat per $m{r}^2$, a on $r$ és la distància del punt a l'eix, i $m$ és la massa. Per a un cos rígit estés, el moment d'inèrcia és simplement la suma de totes les menudes peces de massa multiplicada pel quadrat de les seues distàncies des de l'eix de rotació. Per a un cos extens de forma regular i densitat uniforme, esta suma a voltes produïx una expressió simple que depén de les dimensions, la forma i la massa total de l'objecte.

En 1673 Christiaan Huygens va introduir este paràmetro en el seu estudi de l'oscilació d'un cos que penja d'un pivot, conegut com péndola composta. El terme moment d'inèrcia ("momentum inertiae" en llatí) va ser introduït per Leonhard Euler en el seu llibre Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum en 1765, i s'incorpora a la segona llei de Euler.

La freqüència natural d'oscilació d'una péndola composta s'obté de la relació entre el parell impost per la gravetat sobre la massa de la péndola i la resistència a l'acceleració definida pel moment d'inèrcia. La comparació d'esta freqüència natural en la d'una péndola simple que consta d'un sol punt de massa proporciona una formulació matemàtica per al moment d'inèrcia d'un cos estés.

El moment d'inèrcia també apareix en el moment, energia cinètica, i en lleis de moviment de Newton per a un cos rígit com un paràmetro físic que combina la seua forma i massa. Hi ha una diferència interessant en la forma en que apareix el moment d'inèrcia en el moviment pla i espacial. El moviment pla té un sol escalar que definix el moment d'inèrcia, mentres que per al moviment espacial els mateixos càlculs produïxen una matriu de moments d'inèrcia de 3 × 3, denominada matriu d'inèrcia o tensor d'inèrcia.

El moment d'inèrcia d'un volant giratori s'usa en una màquina per a resistir variacions en el parell aplicat per a suavisar la seua eixida rotacional. El moment d'inèrcia d'un avió sobre els seus eixos llongitudinal, horisontal i vertical determina cóm les forces de direcció en les superfícies de control de les seues ales, elevadors i timons afecten els moviments de l'avió en balancege, cabotege i guiñada.

Equacions del moment d'inèrcia

Archiu:Inertie balai.svg

¿Quin d'estos girs resulta més difícil?
El moment d'inèrcia d'un cos indica la seua resistència a adquirir una acceleració angular.

Donat un sistema de partícules i un eix arbitrari, el moment d'inèrcia del mateix es definix com la suma dels productes de les masses de les partícules pel quadrat de la distància mínima r de cada partícula a dit eix. Matemàticament s'expressa com:

$I=\sum m_i{r}_i^2$

Per a un cos de massa contínua (mig continu), es generalisa com:

$I=\underset{m}{\int }{r}^{2}dm=\underset{V}{\int }\rho r^{2}dV$

El subíndex V de l'integral indica que s'integra sobretot el volum del cos. Es resol a través d'una integral triple.

Este concepte eixercita en el moviment de rotació un paper anàlec al de massa inercial en el cas del moviment rectilíneo i uniforme. La massa inercial és la resistència que presenta un cos a ser accelerat en translació i el moment d'Inèrcia és la resistència que presenta un cos a ser accelerat en rotació. Aixina, per eixemple, la segona llei de Newton: $F=ma$ té com a equivalent per a la rotació:

$\tau =I\alpha$

a on:

• $\tau$ és el torque aplicat al cos.
• $I$ és el moment d'inèrcia del cos sobre l'eix de rotació i
• $\alpha =\frac{d^2\theta }{d{t}^2}$ és la acceleració angular.

Sempre i quan la distància sobre el sistema de referència permaneixca constant.

La energia cinètica d'un cos en moviment en velocitat v és $\frac{1}{2}m{v}^2$, mentres que l'energia cinètica d'un cos en rotació en velocitat angular ω és $\frac{1}{2}I{\omega }^2$, a on $I$ és el moment d'inèrcia sobre l'eix de rotació.

La conservació de la cantitat de moviment o moment llineal té per equivalent la conservació del moment angular $𝐋$:

$𝐋=I𝝎$

El vector moment angular, en general, no té la mateixa direcció que el vector velocitat angular $𝝎$. Abdós vectores tenen la mateixa direcció si l'eix de gir és un eix principal d'inèrcia. Quan un eix és de simetria llavors és eix principal d'inèrcia i llavors un gir al voltant d'eixe eix conduïx a un moment angular dirigit també a lo llarc d'eixe eix.

Teorema de Steiner o teorema dels eixos paralels

Artícul principal → Teorema de Steiner.

La teorema de Steiner (denominat en honor de Jakob Steiner) establix que el moment d'inèrcia sobre qualsevol eix paralel a un eix que passa pel centre de massa, és igual al moment d'inèrcia sobre l'eix que passa pel centre de massa més el producte de la massa pel quadrat de la distància entre els dos eixos:

$I_{\mathrm{e}\mathrm{j}\mathrm{e}}=I_{\mathrm{e}\mathrm{j}\mathrm{e}}^{\mathrm{(}\mathrm{C}\mathrm{M}\mathrm{)}}+M{h}^2$

a on: I_eix és el moment d'inèrcia respecte a l'eix que no passa pel centre de massa; I^(CM)_eix és el moment d'inèrcia per a un eix paralel a l'anterior que passa pel centre de massa; M (Massa Total) i h (Distància entre els dos eixos paralels considerats).

La demostració d'esta teorema resulta immediata si es considera la descomposició de coordenades relativa al centre de masses C $\overline{𝐫}={𝐫}_C+𝐡$ immediata:

$I_{\mathrm{e}\mathrm{j}\mathrm{e}}=\underset{V}{\int }\overline{𝐫}\cdot \overline{𝐫}dm=\underset{V}{\int }({𝐫}_C\cdot {𝐫}_C+2{𝐫}_C\cdot 𝐡+𝐡\cdot 𝐡)dm=\underset{V}{\int }{𝐫}_C\cdot {𝐫}_{C}dm+\underset{V}{\int }2{𝐫}_C\cdot 𝐡dm+\underset{V}{\int }𝐡\cdot 𝐡dm$

$I_{\mathrm{e}\mathrm{j}\mathrm{e}}=I_{\mathrm{e}\mathrm{j}\mathrm{e}}^{\mathrm{(}\mathrm{C}\mathrm{M}\mathrm{)}}+\underset{=0}{\underbrace{2𝐡\cdot \underset{V}{\int }{𝐫}_{C}dm}}+M{h}^2$

a on el segon terme és nul lloc que la distància vectorial promig de massa entorn al centre de massa és nula, per la pròpia definició de centre de massa.

El centre de gravetat i el centre de massa poden no ser coincidentes, ya que el centre de massa només depén de la densitat de massa que posseïxca el cos, en canvi, el centre de gravetat depén del camp gravitacional en el que està immers dit cos.

Calcular el moment d'inèrcia d'àrees compostes

1. Dividir l'àrea composta en vàries parts que siguen simples
2. Determinar les àrees de les parts, designar-les per $A_1,A_2,\dots ,A_n$.
3. Determinar les coordenades del centre de masses (cdm) d'estes parts $(x_i,y_i)$ sobre els eixos X i Y. I calcular el cdm $(x_G,y_G)$ de tota la figura formada per totes les àrees parcials anteriors.
4. Calcular les distàncies dels cdm de cada àrea respecte al cdm total de la figura.
5. Calcular els moments d'inèrcia de les parts respecte als seus eixos de centre de masses (que seran paralels a x i i). Designar com: $I_{i,x}$ i $I_{i,y}$, per a l'àrea i-ésima.
6. Calcular el moment d'inèrcia de cada part respecte als eixos x i i aplicant la teorema de l'eix paralel, és dir, la teorema de Steiner: ${\overline{I}}_{i,x}=I_{i,x}+M_i(y_i-y_G{)}^2$ i ${\overline{I}}_{i,y}=I_{i,y}+M_i(x_i-x_G{)}^2$

1. Calcular els moments d'inèrcia de l'àrea composta a partir dels moments anteriors: $I_{x,\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}=\sum _i{\overline{I}}_{i,x}$ i $I_{y,\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}=\sum _i{\overline{I}}_{i,y}$