Tensor d'inèrcia

El tensor d'inèrcia és un tensor simètric de segon orde que caracterisa l'inèrcia rotacional d'un sòlit rígit. Expressat en una base de l'espai ve dau per una matriu simètrica, dit tensor es forma a partir dels moments d'inèrcia segons tres eixos perpendiculars i tres productes d'inèrcia (dita construcció s'explica en este un atre artícul).

Definició

El tensor d'inèrcia sòlit rígit es definix com un tensor simètric de segon orde tal que la forma quadràtica construïda a partir del tensor i la velocitat angular Ω dona l'energia cinètica de rotació, és dir:

A on les components d'este tensor d'inèrcia en una base ortonormal XYZ poden calcular-se a partir dels tres moments d'inèrcia segons eixos tres eixos perpendiculars:

I els tres productes d'inèrcia que es calculen com:

$I_{xy}=I_{yx}=\underset{M}{\int }-xydm=\underset{V}{\int }-\rho xydxdydz$

$I_{yz}=I_{zy}=\underset{M}{\int }-yzdm=\underset{V}{\int }-\rho yzdxdydz$

$I_{zx}=I_{xz}=\underset{M}{\int }-zxdm=\underset{V}{\int }-\rho zxdxdydz$

Totes les formes anteriors poden resumir-se en la següent fòrmula tensorial:

A on $i,j\in 1,2,3$ i a on $(x_1,x_2,x_3)=(x,y,z)$.

Derivació formal del tensor d'inèrcia

La velocitat d'un cos rígit es pot escriure com la suma de la velocitat del centre de massa més la velocitat d'un element del sòlit, matemàticament açò és:

a on $𝐯$ és la velocitat, ${𝐕}_{CM}$ és la velocitat del centre de massa, $𝜴$ és la velocitat angular d'un sistema de coordenades solidari al sòlit, mida en el mateix sistema de coordenades en el que es medix ${𝐕}_{CM}$ i $\overrightarrow{r}$ és el radiovector que partix del centre de masses cap a l'element del sòlit. Si es pren la norma al quadrat d'este vector es pot obtindre l'energia cinètica de dit diferencial de cos rígit, a saber

a on $dm=\rho (𝐫)dV$, en $\rho (𝐫)$ la densitat del cos i $dV$ un element de volum. Per a obtindre l'energia cinètica total del cos rígit es deu integrar en tot el volum d'este:

És precisament per haver amprat el camp de velocitats en el centre de masses que $\int \rho 𝐫dV=0$ per definició de centre de masses, i per tant el tercer terme queda anulat:

D'esta manera:

és evident, que el primer terme és l'energia cinètica per la translació del cos. L'atre terme, en conseqüència, deu ser l'energia associada a la rotació del mateix. Si s'escriu explícitament l'integrant d'este últim terme es té

a on és clar que:

en ${\delta }_{ij}$ la delta de Kronecker. Posant este resultat en l'expressió associada a l'energia cinètica per la rotació i posant l'integral dins de la sumatoria es té

Deu notar-se que el factor corresponent a l'integral depén únicament de les característiques geomètriques (físiques) del cos. En efecte, depén de la seua forma (volum) i de la massa del cos i de com cóm està distribuïda en dita forma. Este factor és la component $i,j$ d'una certa matriu que es coneix com a Tensor d'Inèrcia, ya que tota matriu correspon a un tensor de segon ranc:

Als elements $I_{ii},i=1,2,3$ li'ls crida moment d'inèrcia respecte de l'eix $i$. Clarament, es veu que el tensor d'inèrcia és simètric, per lo tant és sempre diagonalisable. És dir, sempre es pot trobar una base de vectores tal que dita matriu tinga forma diagonal. Tals vectores definixen lo que es coneix com a eixos principals. En atres paraules, sempre es pot elegir un sistema complet de vectores ortonormals (eixos principals) en els quals el tensor d'inèrcia pren forma diagonal.