Lemniscata de Gerono

Lemniscata de Gerono

En geometria algebraica, la lemniscata de Gerono (també, lemniscata de Huygens o curva en forma de huit) és una curva algebraica plana de quart grau i gènero geomètric zero. És una lemniscata la forma de la qual semeja la del símbol d'infinit: $\mathrm{\infty }$ o figura en huit. La seua equació és:

$x^4-x^2+y^2=0$

Va ser estudiada per Camille-Christophe Gerono.^{cita requerida}

Parametrización

Ya que la curva és de gènero geomètric zero, es pot parametrizar per mig de funcions racionals. Una manera de fer-ho és:

$x=\frac{t^2-1}{t^2+1},y=\frac{2t(t^2-1)}{(t^2+1{)}^2}$

Una atra representació és:

$x=\cos \phi ,y=\sin \phi \cos \phi =\sin (2\phi )/2$,

la qual cosa revela que esta lemniscata és un cas especial de curva de Lissajous.

Curva dual

La curva dual (vore fòrmula de Plücker), ilustrada avall, és per lo tant de caràcter alguna cosa diferent. La seua equació és:

$(x^2-y^2{)}^3+8y^4+20x^2{y}^2-x^4-16y^2=0$

Dual de la lemniscata de Gerono.

Referències

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves, Dover Publications, p. 124. ISBN 0-486-60288-5.