Programa de Langlands

En matemàtiques, el programa de Langlands és una ret de conjecturas influents i de gran alcanç sobre les conexions entre la teoria de números i la geometria. Propost per Robert Langlands, busca relacionar els grups de Galois en teoria d'número algebraico en les formes automórficas i la teoria de la representació de grups algebraics sobre grups locals i anells adélicos. Àmpliament vist com el proyecte més gran en l'investigació matemàtica moderna, el programa de Langlands ha segut descrit per Edward Frenkel com "una espècie de gran teoria unificada de les matemàtiques".

Antecedents

En un context molt ampli, el programa es va basar en idees existents: la filosofia de formes cuspidales formulat uns anys abans per Harish-Chandra i Gelfand, el treball i enfocament de Harish-Chandra sobre el grup de Lie semisimple, i en térmens tècnics la fòrmula de la traça de Selberg i uns atres.

Lo que inicialment va ser molt nou en el treball de Langlands, ademés de la profunditat tècnica, va ser la conexió directa proposta en la teoria de números, junt en la rica estructura organisativa objecte d'hipòtesis (la cridada "funtorialidad").

Per eixemple, en el treball de Harish-Chandra es troba el principi de que lo que es pot fer en un grup de Lie semisimple (o reductivo), pot fer-se en tots. Per lo tant, una volta que es va reconéixer el paper d'alguns grups de Lie de baixa dimensió com GL(2) en la teoria de les formes modular, i en retrospectiva GL(1) en la teoria de cossos de classes, el camí va quedar obert a lo manco a l'especulació sobre GL (n) per a n> 2 en general.

L'idea de la forma cuspidal va sorgir dels cims de les curves modular, pero també tenia un significat visible en teoria espectral com un "espectre discret", en contrast en el "espectre continu" de les séries de Eisenstein. Es torna molt més tècnic per a grups de Lie més grans, perque els subgrups parabòlics són més numerosos.

En tots estos enfocaments no varen faltar els métodos tècnics, a sovint de naturalea inductiva i basats en la descomposició de Levi, entre atres qüestions, pero el cos era i és molt exigent.

I del costat de les formes modular, va haver eixemples com les formes modular de Hilbert, les formes modular de Siegel i les séries-theta.

Objectes

Hi ha una série de conjectura de Langlands relacionades entre sí. Existixen molts grups diferents en molts camps diferents per als que es poden establir, i per a cada camp hi ha vàries versions diferents de les conjectura. Algunes versions de les conjectura de Langlands són vagues o depenen d'objectes com els grups de Langlands, l'existència dels quals no està provada, o del grup L, que té vàries definicions no equivalents. Ademés, les conjectura de Langlands han evolucionat des de que el propi Langlands les va plantejar per primera volta en 1967.

Hi ha diferents tipos d'objectes per als que es poden enunciar les conjectura de Langlands:

• Representacions de grups reductivos sobre cossos locals (en diferents subcuerpos corresponents a cossos locals de Arquímedes, cossos locals p-ádicos, i terminacions de grups de funcions)
• Formes automórficas en grups reductors sobre grups globals (en subgrups corresponents a grups numèrics o grups de funcions).
• Cossos finitos. Langlands no va considerar originalment este cas, pero les seues conjectura tenen anàlecs.
• Cossos més generals, com els cossos de funcions sobre els número complejo.

Bibliografia

• (2003).«The principle of functoriality».Bulletin of the American Mathematical Society.40(1)

39–53.ISSN 0002-9904.doi:10.1090/S0273-0979-02-00963-1.

• (2003).«An Introduction to the Langlands Program».Birkhäuser.Boston:
• (1984).«An elementary introduction to the Langlands program».Bulletin of the American Mathematical Society.10(2)

177–219.ISSN 0002-9904.doi:10.1090/S0273-0979-1984-15237-6.

• Plantilla:Cite arXiv
• (1963).«Proc. Internat. Congr. Mathematicians (Stockholm, 1962)».Inst. Mittag-Leffler.Djursholm:

74–85.Consultat el 18 de maig de 2021.

• (2001).«The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties».Princeton University Press.151
• (2000).«Unix preuve simple dones conjectures de Langlands pour GL(n) sur un corps p-adique».Inventiones Mathematicae.139(2)

439–455.ISSN 0020-9910.doi:10.1007/s002220050012.

• (1980).«The Langlands Conjecture for Gl₂ of a Local Field».Annals of Mathematics.112(2)

381–412.doi:10.2307/1971151.

• (1967).«Letter to Prof. Weil».

• (1970).«Lectures in modern analysis and applications, III».Springer Science+Business Mija.Berlin, New York:170

18–61.doi:10.1007/BFb0079065.

• (1993).«D-elliptic sheaves and the Langlands correspondence».Inventiones Mathematicae.113(2)

217–338.ISSN 0020-9910.doi:10.1007/BF01244308.

• (2013).«The Local Langlands Correspondence for GL(n) over p-adic fields».Inventiones Mathematicae.192(3)

663–715.doi:10.1007/s00222-012-0420-5.