Forma automórfica

En l'anàlisis harmònic i la teoria de números, una forma automórfica és una funció de bon comportament d'un grup topològic G als número complex (o espai vectorial complex) que és invariante baix l'acció d'un subgrup discret $Γ \subset G$ del grup topològic. Les formes automórficas són una generalisació de l'idea de funcions periòdiques en l'espai euclidiano a grups topològics generals.

Les formes modular són formes automorfas holomórficas definides sobre els grups SL(2, <b aneu="mwGQ">R</b>) o PSL(2, <b aneu="mwGw">R</b>) sent el subgrup discret el grup modular, o un dels seus subgrups de congruència; en este sentit la teoria de formes automorfas és una extensió de la teoria de formes modular. De manera més general, es pot utilisar l'enfocament adélico com una forma d'abordar tota la família de subgrups de congruència al mateix temps. Des d'este punt de vista, una forma automórfica sobre el grup G(A_F), per a un grup algebraic G i un cos de número algebraico F, és una funció de valor complex en G(A_F) que es deixa invariante baix G(F) i satisfà certes condicions de suavitat i creiximent.

Henri Poincaré va descobrir per primera volta les formes automórficas com a generalisacions de funcions trigonométricas i elíptiques. A través de les conjectura de Langlands, les formes automórficas juguen un paper important en la teoria de números moderna.^[1]

Definició

En matemàtiques, la noció de factor de automorfía sorgix per a un grup que actua sobre una varietat analítica-complexa. Supongam un grup $G$ actua sobre una varietat analítica complexa $X$ . Llavors, $G$ també actua sobre l'espai de funcions holomorfas de $X$ als número complex. Una funció $f$ es denomina forma automórfica si es complix lo següent:

f (g \cdot x) = j_{g} (x) f (x)

on $j_{g} (x)$ és una funció holomórfica en tots els llocs distinta de zero. De manera equivalent, una forma automórfica és una funció que el seu divisor és invariante baix l'acció de $G$ .

El factor de automorfía per a la forma automórfica $f$ és la funció $j$ . Una funció automórfica és una forma automórfica per a la qual $j$ és l'identitat.

Una forma automórfica és una funció F en G (en valors en algun espai vectorial fix de dimensió finita V, en el cas de valor vectorial), subjecta a tres tipos de condicions:

transformar baix traducció per elements $γ \in Γ$ segons el factor donat de automorfia j;
ser una funció pròpia de certs operadors de Casimir en G; i
per a satisfer una condició asintòtica de "creiximent moderat" una funció d'altura.

És el primer d'ells el que fa que F siga automórfico, és dir, satisfà una interessant equació funcional que relaciona F(g) en F(γg) para $γ \in Γ$ . En el cas de valors vectorials, l'especificació pot implicar una representació de grup de dimensió finita ρ que actua sobre els components per a "retortillar-los". La condició de l'operador de Casimir diu que alguns laplacianos^{cita requerida} té F com a funció pròpia; açò assegura que F té excelents propietats analítiques, pero si en realitat és una funció analítica complexa depén del cas particular. La tercera condició és manejar el cas a on G/Γ no és compacte pero té cims.

La formulació requerix la noció general de factor de automorfia j per a Γ, que és un tipo d'1-cociclo en el llenguage de la cohomología de grups. Els valors de j poden ser número complex o, de fet, matrius quadrades complexes, lo que correspon a la possibilitat de formes automórficas en valors vectorials. La condició de cociclo imposta al factor de automorfía és alguna cosa que es pot comprovar de forma rutinària, quan j es deriva d'una matriu jacobiana, per mig de la regla de la cadena.

Una definició més directa pero tècnicament alvançada que utilisa la teoria de camps de classes construïx formes automórficas i les seues funcions corresponents com incrustaciones de grups de Galois en les seues extensions de camp globals subjacents. En esta formulació, les formes automórficas són certs invariantes finitos, que s'assignen des del grup de classes idele baix la llei de reciprocitat de Artin. Ací, l'estructura analítica de la seua funció L permet generalisacions en diverses propietats algebro-geomètriques; i el programa Langlands resultant. Per a simplificar massa, les formes automórficas en esta perspectiva general són funcionals analítiques que quantifiquen la invariancia d'els camps numèrics en un sentit més abstracte, indicant aixina la "primitividad" del seu estructura fonamental. Permetent una poderosa ferramenta matemàtica per a analisar les construccions invariantes de pràcticament qualsevol estructura numèrica.

És difícil obtindre eixemples de formes automórficas en un estat explícit no abstret, encara que algunes tenen propietats directament analítiques:

- La série de Eisenstein (que és una forma modular prototípica) sobre certes extensions de camp com grups abelianos.

- Generalisacions específiques de les funcions L de Dirichlet com a objectes de teoria de camps de classe.

- Generalment qualsevol objecte analític harmònic com funtor sobre grups de Galois que és invariante en el seu grup de classe ideal (o idele).

Com a principi general, les formes automórficas poden considerar-se funcions analítiques sobre estructures abstractes, que són invariantes sobre un anàlec generalisat del seu ideal primer (o una representació fonamental irreducible abstracta). Com es va mencionar, les funcions automórficas poden vore's com a generalisacions de formes modular (per lo tant, curves elíptiques), construïdes per algun anàlec de funció zeta en una estructura automórfica. En el sentit més simple, les formes automórficas són formes modular definides en grups de Lie generals; per les seues propietats de simetria. Per lo tant, en térmens més simples, una funció general que analisa la invariancia d'una estructura sobre la seua 'morfologia' principal.

Història

Ans que es proponguera esta configuració tan general (al voltant de 1960), ya s'havien realisat desenrolls significatius de formes automórficas que eren diferents de les formes modular. El grup Γ fucsiano ya havia atret atenció abans de 1900 (vore més avall). Les formes modular de Hilbert (també conegudes com a formes de Hilbert-Blumenthal) varen ser propostes poc despuix, encara que una teoria completa va tardar en desenrollar-se. Les formes modular de Siegel, per a les quals G és un grup simpléctico, varen sorgir de manera natural en considerar espais de mòduls i funcions theta. L'interés posterior a la guerra en vàries variables complexes va fer que fora llògic seguir l'idea de la forma automórfica en els casos a on les formes són realment analítiques-complexes. Es va realisar una cantitat considerable de treball, especialment per part de Ilya Piatetski-Shapiro, en els anys al voltant de 1960, per a establir dita teoria. La teoria de la fòrmula de la traça de Selberg, tal com va ser aplicada per uns atres, va demostrar la considerable profunditat de la teoria. Robert Langlands va mostrar cóm (en térmens generals, coneixent molts casos particulars) la teorema de Riemann-Roch podria ser utilisat per a calcular dimensions de formes automórficas; açò representa una espècie de verificació post hoc de la validea de la noció. També va desenrollar la teoria general de les séries de Eisenstein, que correspon a lo que en térmens de teoria espectral es denominaria el "espectre continu" per a este problema, deixant la forma de cim o part discreta per a la seua investigació. Des de la perspectiva de la teoria de números, les formes de cim han segut reconegudes, des de Srinivasa Ramanujan, com el núcleu de l'assunt.

Vore també

Referències

↑ Friedberg. «Automorphic Forms: A Brief Introduction». Archivat des d'el [1]_Solomon_Friedberg,_Boston_College.pdf original], el 2013-06-06. Consultat el 2014-02-10.

Bibliografia

{{{1}}} en Springer
Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7
Daniel Bump, "Automorphic Forms and Representations", 1998, Cambridge University Press
Stephen Gelbart (1975), "Formes automórficas en grups de Adele",ISBN 9780608066042

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Forma automórfica» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Freidberg2013-1] Friedberg. «Automorphic Forms: A Brief Introduction». Archivat des d'el [1]_Solomon_Friedberg,_Boston_College.pdf original], el 2013-06-06. Consultat el 2014-02-10.

[1]