Autofunción

En matemàtiques, una autofunción (a voltes cridada eigenfunción, de l'alemà eigen, propi) d'un operador llineal "A", definida en algun espai funcional, és una funció f distinta de zero en eixe espai que torna a l'operador exactament com és, a excepció d'un factor d'ajust multiplicativo. Precisament, si es té

Autofunción

La solució al problema de la membrana vibrant és en qualsevol instant del temps, una autofunción del operador de Laplace en un disc.

$𝒜f=\lambda f$

per algun escalar λ. Este escalar λ rep el nom valor propi, autovalor, valor característic o eigenvalor. La solució al problema del diferencial del valor propi també depén de les condiciones de frontera requerides per $f$. En cada cas, només hi ha certs valors propis $\lambda ={\lambda }_n$ ($n=1,2,3,\mathrm{...}$) que admeten una solució corresponent per a $f=f_n$ (en cada $f_n$ pertanyent al valor propi ${\lambda }_n$ ) quan es combina en les condicions de frontera. L'existència de les autofunciones sol ser la manera més perspicaz per a analisar $A$.

Per eixemple, $f_k(x)=e^{kx}$ és una autofunción per a l'operador diferencial

$𝒜=\frac{d^2}{d{x}^2}-\frac{d}{dx}$

per a qualsevol valor de $k$, en un autovalor corresponent $\lambda =k^2-k$. Si les condicions de frontera són aplicats a este sistema (i.g., $f=0$ en dos ubicacions físiques en l'espai), llavors solament certs valors de $k=k_n$ satisfan les condicions de frontera, generant corresponents valors propis discrets ${\lambda }_n=k_n^2-k_n$.

Específicament, en l'estudi de senyals i sistemes, la autofunción d'un sistema és la senyal $f(t)$ que introduït a un sistema, produïx una resposta $y(t)=\lambda f(t)$ en una constant complexa $\lambda$.

Aplicacions

Les autofunciones tenen un paper important en moltes branques de la física. Un important eixemple és la mecànica quàntica, a on l'equació de Schrödinger $\mathscr{H}\psi =E\psi$,

en $\mathscr{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+V(𝐫,t)$

té una solució de la forma

$\psi (t)=\sum _k{e}^{-i{E}_{k}t/\hslash }{\varphi }_k,$

a on ${\varphi }_k$ són autofunciones de l'operador $\mathscr{H}$ en valors propis $E_k$. El fet de que solament certs valors propis $E_k$ en autofunciones associades ${\varphi }_k$ satisfacen l'equació de Schrödinger dona lloc a una base natural per a la mecànica quàntica i la taula periòdica dels elements, en cada $E_k$ un estat permissible d'energia del sistema. L'èxit d'esta equació en l'explicació de les característiques espectrals d'hidrogen està considerat com un dels grans triumfos de la física del XX.

Per la naturalea de l'operador Hamiltoniano $\mathscr{H}$, els seus autofunciones són funcions ortogonals. Açò no és necessari en el cas de les funcions pròpies d'atres operadors (com l'eixemple $A$ mencionat dalt). Funcions ortogonals $f_i$, $i=1,2,\dots ,$ tenen la propietat de que

$0=\int f_i^{*}{f}_j$

a on $f_i^{*}$ és el complex conjugat de $f_i$

quan $i\ne j$, en el cas del qual el conjunt $\{f_i|i\in I\}$ es diu que és ortogonal. Ademés, és linealment independent.

Referències

• Methods of Mathematical Physics by R. Courant, D. Hilbert ISBN 0-471-50447-5 (Volume 1 Paperback) ISBN 0-471-50439-4 (Volume 2 Paperback) ISBN 0-471-17990-6 (Hardback)

Vore també

• Vector propi i valor propi