Forma de cim

Archiu:ModularGroup-FundamentalDomain-01.png

Models de semiplano de Poincaré.

En teoria de números, una branca de les matemàtiques, una forma de cim (també coneguda com a forma cuspidal o forma parabòlica) és un tipo particular de forma modular en un coeficient constant zero en l'expansió de la série de Fourier.

Introducció

Una forma parabòlica es distinguix en el cas de formes modular del grup modular per la desaparició del coeficient constant a₀ en l'expansió de la série de Fourier (vore expansió q)

$\sum a_n{q}^n.$

Esta expansió de Fourier existix com a conseqüència de la presència en l'acció del grup modular en el semiplano superior a través de la transformació

$z\mapsto z+1.$

Per a atres grups, pot haver alguna translació a través de vàries unitats, en el cas de les quals l'expansió de Fourier es materialisa en térmens d'un paràmetro diferent. No obstant, en tots els casos, el llímit quan q → 0 és el llímit en el semiplano superior quan la partix imaginària de z → ∞. Prenent el cocient pel grup modular, este llímit correspon a una cim d'una curva modular (en el sentit d'un punt agregat per a la compactación). Llavors, la definició equival a dir que una forma de cim és una forma modular que desapareix en un cim. En el cas d'atres grups, pot haver varis cims, i la definició es convertix en una forma modular que desapareix en tots els cims. Açò pot implicar vàries expansions.

Dimensió

Les dimensions dels espais de les formes de cim són, en principi, computables a través del teorema de Riemann-Roch. Per eixemple, la funció tau de Ramanujan τ(n) sorgix com la seqüència de coeficients de Fourier de la forma de cim de pes 12 per al grup modular, en a₁ = 1). L'espai de tals formes té dimensió   1, lo que significa que esta definició és possible; i això explica l'acció dels operadors de Hecke en l'espai per mig de la multiplicació escalar (prova de Mordell de les identitats de Ramanujan). Explícitament és el discriminante modular

$\Delta (z,q),$

que representa (fins a una constant de normalisació ) el discriminante de l'expressió cúbica que figura en el costat dret de l'equació de Weierstrass d'una curva elíptica; i la potencia número 24 de la funció eta de Dedekind. Els coeficients de Fourier ací estan escrits com

$\tau (n)$

sent cridats 'funció tau de Ramanujan', en la normalisació τ(1) = 1.

Referències

• Serre, Jean-Pierre, A Course in Arithmetic, Graduate Texts in Mathematics, No. 7, Springer-Verlag, 1978. ISBN 0-387-90040-3
• Shimura, Goro, An Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions, Princeton University Press, 1994. ISBN 0-691-08092-5
• Gelbart, Stephen, Automorphic Forms on Adele Groups, Annals of Mathematics Studies, No. 83, Princeton University Press, 1975. ISBN 0-691-08156-5