Funció eta de Dedekind

Funció eta de Dedekind representada en el pla complex.

La funció eta de Dedekind o simplement funció η de Dedekind, nomenada aixina en honor al matemàtic alemà Richard Dedekind és una funció holomorfa definida en el semiplano superior complex $ℍ=\{\tau \in ℂ\mid \mathrm{I}\mathrm{m}\tau >0\}$ Esta funció juga un paper fonamental en la teoria de funcions elíptiques i funcions theta.

Definició

La funció η sol definir-se per mig del següent producte:

$\eta (\tau ):=e^{2\pi i\tau /24}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-e^{2\pi in\tau }):=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^n)$.

a on $q=e^{2\pi i\tau }$. De la definició es deduïx immediatament que $\eta$ sobre $ℍ$ no té zeros.

La funció η està estretament relacionada en la seua discriminante $\Delta$, de la següent manera

$\Delta (\tau )=(2\pi {)}^{12}{\eta }^{24}(\tau )$.

Per al càlcul de la funció, se sol amprar el teorema del número pentagonal de Euler.

Transformació i comportament

Les propietats que s'atribuïxen a la funció η s'originen del seu comportament de transformació en les substitucions dels generadors del grup modular

$\Gamma :={\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z})=\{(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array})\mid a,b,c,d\in \mathbb{Z},ad-bc=1\}$,

és dir:

$\eta (\tau +1)=e^{\pi i/12}\eta (\tau )$

i

$\eta \left(\frac{-1}{\tau }\right)=\sqrt{\frac{\tau }{i}}\eta (\tau )$.