Teorema del número pentagonal

En matemàtiques, la teorema del número pentagonal, originalment formulat per Leonhard Euler, dona una equivalència entre la representació en forma producte i de série de la funció de Euler. Es formula com:

O escrit com:

$(1-x)(1-x^2)(1-x^3)\cdots =1-x-x^2+x^5+x^7-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}+\cdots$

Una de les característiques principals, i al mateix temps interessant, és la cancelació d'alguns térmens en desenrollar el producte. Els coeficients 1, 2, 5, 7, 12... que apareixen en els exponents en la part dreta de l'identitat corresponen als números pentagonals (més exactament, als números pentagonals generalisats).

Si nosatres tractem la série resultant com una série de potències, esta té un radi de convergència igual a 1. Ignorant el radi de convergència, i basant-nos en la seua série de potències formal, la teorema seguix complint-se, ya que este només fa una equivalència entre una representació en forma de suma i de producte.

A continuació es mostren un parell de proves en térmens moderns, encara que si un ho desija, pot consultar la prova original de Euler ací.

Prova per combinatoria

La teorema pot ser demostrat donant una interpretació combinatòrial en térmens de particions. En particular, el membre de l'esquerra és una funció generadora per al número de particions de n en un número par de distintes parts menys el número de particions de n en un número impar de distintes parts.

Per eixemple, el coeficient de x⁵ és 1 perque solament hi ha dos maneres de descompondre 5 en un número par de distintes parts (4+1 i 3+2), pero solament hi ha una única manera de descompondre 5 en un número impar de parts (el 5 en sí).

D'esta interpretació se seguix una elegant prova pel método d'involució. Considerem el gràfic Ferrers de qualsevol partició de n en distintes parts. Per a que es veja gràficament, el diagrama que es mostra a continuació és per a n = 20 i la partició 20 = 7 + 6 + 4 + 3.

Siga k el número d'elements de la menor fila del nostre gràfic. Siga s el número d'elements situats més a la dreta que formen diagonal (en els gràfics estan indicats en roig). Aixina que, en el gràfic de dalt, k = 3,s = 2.

Si k > s nosatres podem prendre els elements en diagonal més a la dreta i ubicar-nos com una nova fila. Seguint en l'eixemple de dalt, açò nos quedaria de la següent manera:

Si este no és el cas (com en el nostre recent format gràfic a on k = 2 i s = 5), nosatres podem revertir el procés movent la fila inferior a una nova diagonal ( en efecte, afegint 1 element de la fila inferior les primeres k files). En el nostre cas, esta acció nos tornarà al primer gràfic.

Una miqueta de reflexió mostra que, de fet, l'aplicació d'este procés dos voltes nos du al gràfic original i el procés sempre canvia la paritat del número de files. Per lo tant este procés (quan es pot realisar) nos permet aparear els gràfics de Ferrer obtenint 1 o -1 en la suma original. Aixina, tot s'anula, llevat en els casos en els que esta operació no pot realisar-se. De fet, hi ha dos d'ells:

1) k = s i la diagonal més a la dreta i la fila d'avall es troben, per eixemple:

En realisar l'operació, el resultat seria

el qual falla en canviar la paritat del número de files, i no és reversible en el sentit de que en realisar l'operació una atra volta, nosatres no podem tornar de nou al gràfic original. Si hi ha k elements en l'última fila del gràfic original, llavors:

$n=k+(k+1)+(k+2)+\cdots +(2k-1)=\frac{k(3k-1)}{2}$

2) k = s + 1 i la diagonal més a la dreta i la fila d'avall es troben, per eixemple:

L'operació requerix moure la diagonal més a la dreta a la fila d'avall, pero llavors tindríem 2 files de 3 elements, la qual cosa contradiu el que estigam contant particions en números distints de parts. Este és el cas previ, pero en una fila menys aixina que

$n=k+(k+1)+(k+2)+\cdots +(2k-2)=\frac{(k-1)(3k-2)}{2}=\frac{m(3m-1)}{2}$

a on m = 1-k (observe's que m és negatiu).

Resumint, s'ha mostrat que les particions d'un número par en distintes parts i d'un número impar en distintes parts exactament es cancelen mútuament, llevat para els números pentagonals generats per número entero (negatius inclosos), per tant, desenrollant el producte i aplicant els métodos exposts a cada xⁿ, s'obté

$(1-x)(1-x^2)(1-x^3)\cdots =1-x-x^2+x^5+x^7-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}+\cdots$

de lo que se seguix l'identitat inicial.

Prova per biyección

Una atra manera de provar l'identitat és observar les implicacions de certs conjunts de particions. Per a escomençar, nosatres sabem que el producte

$\prod _{n\in \mathbb{N}}(1-x^n)$

és invers (en térmens de série de potències formal) que la més coneguda funció generadora de la funció partició p(n)

$\prod _{k\in \mathbb{N}}(1-x^k{)}^{-1}=\sum _{n\in {\mathbb{N}}_0}p(n)x^n$

Clarament, un pot observar que

$(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}p(n)x^n)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n\right)=1$

a on a_n és el coeficient de xⁿ en l'expansió del producte que pretenem desenrollar. Nosatres també veem que

$a_0\cdot p(0)=a_0=1$

i també que

$\sum _{i=0}^{n}p(n-i)a_i=0\mathrm{\forall }n\ge 1.$

Es pot vore que açò resulta ser una relació recursiva, de la qual cada element a_i es definix de forma única. Si tenim que trobar un

$a_i:=\{\begin{array}{cc}1& \text{ if }i=\frac{1}{2}(3k^2\pm k)\text{ y }k\text{ es par}\\ -1& \text{ if }i=\frac{1}{2}(3k^2\pm k)\text{ y }k\text{ es impar}\\ 0& \text{ en cualquier otro caso }\end{array}$

per a i ≥ 1 (que és lo que busquem), és necessari substituir esta fòrmula en la nostra relació recursiva para a_i,

$\sum _i(-1{)}^{i}p(n-b_i)$

a on n > 0 i $b_i:=\frac{1}{2}(3i^2+i)$ per a tots els valors de i tals que b_i ≤ n (tant negatius com a positius) de lo que s'obté que

$\sum _{i\text{ par}}p(n-b_i)=\sum _{i\text{ impar}}p(n-b_i)$

lo que traduït en térmens de conjunts de particions com pel fet de que

$𝒳:=\bigcup _{i\text{ par}}𝒫(n-b_i)\text{ y }𝒴:=\bigcup _{i\text{ impar}}𝒫(n-b_i)$

tenen la mateixa cardinalidad (usant les mateixes restriccions que abans per a i i n). Lo únic que falta és trobar una biyección d'un conjunt a l'atre i és fàcil comprovar que la funció $\phi :𝒳\to 𝒴$ en els mapes de partició $𝒫(n-b_i)\ni \lambda :n-b_i={\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_{\ell }$ a la partició ${\lambda }^{\prime }=\phi (\lambda )$ a on

$\phi (\lambda ):=\{\begin{array}{cc}{\lambda }^{\prime }:n-b_{i-1}=(\ell +3i-1)+({\lambda }_1-1)+\cdots +({\lambda }_{\ell }-1)& \text{ if }\ell +3i\ge {\lambda }_1\\ \\ {\lambda }^{\prime }:n-b_{i+1}=({\lambda }_2+1)+\cdots +({\lambda }_{\ell }+1)+\underset{{\lambda }_1-\ell -3i-1}{\underbrace{1+\cdots +1}}& \text{ if }\ell +3i<{\lambda }_1\end{array}$

és en realitat una involució (i per tant també una biyección), com lo que queda demostrada l'identitat.

( Ací, les particions es mostren com $\lambda :n={\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_{\ell }$ en ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots \ge {\lambda }_{\ell }$ i $𝒫(n)$ denota el conjunt de totes les particions de n )