Funció de Euler

Archiu:Euler function.png

Funció de Euler

Archiu:Caps block 0 Eulero.jpeg

Mòdul de phi en el pla complex, coloreado de tal manera que negre=0, roig=4.

En matemàtica, particularment en teoria de números, la funció de Euler està definida per

$\varphi (q)=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^k).$

Cridada aixina en honor a Leonhard Euler, és l'eixemple prototip de q-series, una forma modular, i és un dels primers eixemples de relació entre combinatòria i anàlisis complex.

Propietats

Els coeficients p(k) en la serie de Maclaurin per a 1/Φ(q) dona el número de totes les particions de k. Açò és,

$\frac{1}{\varphi (q)}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}p(k)q^k$

a on p(k) és la funció de partició de k.

El teorema del número pentagonal, descobert també per Leonhard Euler, està relacionat en la funció de Euler de la següent manera:

$\varphi (q)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{(3n^2-n)/2}.$

Note's que (3n²-n)/2 és un número pentagonal.

La funció de Euler està relacionada en la funció eta de Dedekind, per mig de l'identitat descoberta per Ramanujan:

$\varphi (q)=q^{-1/24}\eta (\tau )$

a on $q=e^{2\pi i\tau }$.

Note's que abdós funcions tenen la simetria del grup modular.