Curva modular

Una recta llineal representant un eixemple d'una "curva modular"

En la teoria numèrica i en la geometria algebraica, una curva modular I (Γ) és una superfície de Riemann, o la curva algebraica corresponent, construïda com cocient del pla mig complex H per l'acció d'un subgrup de congruència Γ del grup modular de matrius integrals 2 × 2 SL (2, Z). El terme curva modular també es pot utilisar per a referir-se a les curves modular compactificadas X (Γ) que són compactificaciones obtingudes afegint un número finito de punts (denominats cims de Γ) a este cocient (per mig d'una acció en el pla superior complex complex estés ). Els punts d'una curva modular parametrizan les classes d'isomorfisme de curves elíptiques, junt en alguna estructura adicional depenent del grup Γ. Esta interpretació permet donar una definició purament algebraica de curves modular, sense referència a número complejo, i, ademés, provar que les curves modular es definixen ya siga sobre el camp Q de número racional, o un camp ciclotòmic. Este últim fet i les seues generalisacions són de fonamental importància en la teoria numèrica.

Definició analítica

El grup modular SL (2, Z) actua sobre el pla mig superior per mig de transformacions llineals fraccionarias. La definició analítica d'una curva modular implica l'elecció d'un subgrup de congruència Γ de SL (2, Z), és dir, un subgrup que conté el subgrup de congruència principal de nivell N Γ (N), per a un cert sancer positiu N, a on

$\Gamma (N)=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right):a\equiv d\equiv \pm 1modN\text{ and }b,c\equiv 0modN\}.$

El mínim tal N es diu el nivell de Γ. Una estructura complexa pot ser posada en el cocient Γ H per a obtindre una superfície no compactar de Riemann comunament denominada I (Γ).

Curves modular compactificadas

Una compactificación comuna d'I (Γ) s'obté afegint un número finito de punts cridats cims de Γ. Específicament, açò es fa considerant l'acció de Γ en el pla complex superior estés H * = H ∪ Q ∪ {∞}. Introduïm una topología en H * prenent com a base:

• qualsevol subconjunt obert de H,
• per a tot r> 0, el conjunt $\{\mathrm{\infty }\}\cup \{\tau \in 𝐇\mid \text{Im}(\tau )>r\}$
• per a tots els sancers de coprima a, c i tots r> 0, l'image de $\{\mathrm{\infty }\}\cup \{\tau \in 𝐇\mid \text{Im}(\tau )>r\}$ baix l'acció de

$\left(\begin{array}{cc}a& -m\\ c& n\end{array}\right)$

a on m, n són número entero tals que a + cm = 1.

Açò convertix H * en un espai topològic que és un subconjunt de l'esfera de Riemann P¹ (C). El grup Γ actua sobre el subconjunt Q ∪ {∞}, dividint-ho en òrbites finitas cridades els cims de Γ. Si Γ actua transitivamente en Q ∪ {∞}, l'espai Γ H * es convertix en la compactificación de Alexandroff de Γ H. Una volta més, una estructura complexa pot ser posada en el cocient Γ H * convertint-ho en una superfície de Riemann denotada X (Γ) que ara és compacta. Este espai és una compactificación d'I (Γ).

Eixemples

Els eixemples més comuns són les curves X (N), X0 (N) i X1 (N) associades en els subgrups Γ (N), Γ0 (N) i Γ1 (N).

La curva modular X (5) té el gènero 0: és la esfera de Riemann en 12 cims situats en els vèrtiços d'un icosaedre regular. La coberta X (5) → X (1) es realisa per l'acció del grup icosaédrico en l'esfera de Riemann. Este grup és un grup simple d'orde 60 isomorfo a A5 i PSL (2, 5).

La curva modular X (7) és la cuartil de Klein del gènero 3 en 24 cims. Es pot interpretar com una superfície en tres torres en 24 heptagones, en un cim en el centre de cada cara. Estes tilings es poden entendre a través de dessins d'enfants i funcions de Belyi - els cims són els punts situats sobre ∞ (punts rojos), mentres que els vèrtiços i centres de les vores (punts blancs i negres) són els punts situats sobre 0 i 1. El grup Galois de la coberta X (7) → X (1) és un grup simple d'orde 168 isomorfo a PSL (2, 7).

Existix un model clàssic explícit per a X0 (N), la curva modular clàssica; açò a voltes es diu la curva modular. La definició de Γ (N) pot ser reformulada com seguix: és el subgrup del grup modular que és el núcleu de la reducció mòdul N. Llavors Γ₀ (N) és el subgrup més gran de matrius que són triangular superior mòdul N:

$\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right):c\equiv 0modN\},$

i Γ₁ (N) és el grup intermig definit per:

$\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right):a\equiv d\equiv 1modN,c\equiv 0modN\}.$

Estes curves tenen una interpretació directa com a espais de mòduls per a curves elíptiques en estructura de nivell i per esta raó juguen un paper important en la geometria aritmètica. La curva modular de nivell N X (N) és l'espai de mòdul per a curves elíptiques en una base per a la N-torsió. Per a X₀ (N) i X1 (N), l'estructura de nivells és, respectivament, un subgrup cíclico d'orde N i un punt d'orde N. Estes curves han segut estudiades en gran detall i, en particular, se sap que X₀ N) es pot definir sobre Q.

Les equacions que definixen curves modular són els eixemples més coneguts d'ecuacionés modular. Els "millors models" poden ser molt diferents dels presos directament de la teoria de la funció elíptica. Els operadors d'Hecke poden ser estudiats geomètricament, com a correspondències que conecten parells de curves modular.

Observació: els cocients de H que són compactes ocorren per als grups Fuchsian Γ distints dels subgrups del grup modular; una classe d'ells construïts a partir de àlgebra de cuaternión és també d'interés en la teoria numèrica.