Equació funcional

En matemàtiques o en les seues aplicacions, una equació funcional és una equació que s'expressa a través d'una combinació de variables independents i funcions incògnites, l'expressió de les quals i valor deuen ser resolts. És possible determinar les propietats de les funcions analisant els tipos d'equacions funcionals que les mateixes satisfan. El terme equació funcional està per lo general reservat a equacions que no són fàcilment reducibles a equacions algebraiques: açò es deu a que en molts casos dos o més funcions conegudes són substituïdes com a arguments d'una funció incògnita, que deu ser resolta.

Equació funcional elemental

Es diu equació funcional elemental a aquella que comporta com a incògnita una funció d'una variable. Els elements que contenen la funció estan lligats per suma (diferència), producte (cocient), producte per un escalar o la composició de funcions.

Similarmente, en el cas de les equacions diferencials ordinàries, una funció (o aplicació) apareix com una incògnita. Per eixemple, i' = ky, la solució del qual és una família de funcions monoparamétrica.

Eixemples

• L'equació funcional:

$\zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)$

és satisfeta per la funció zeta de Riemann ζ. El símbol Γ identifica a la funció gamma.

• L'equació funcional:

$\Gamma (x)=\frac{\Gamma (x+1)}{x}$

és satisfeta per la funció gamma.

• La fòrmula de reflexió d'Euler:

$\Gamma (z)\Gamma (1-z)=\frac{\pi }{\sin (\pi z)}$

és satisfeta per la funció gamma.

• L'equació funcional:

$f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)=(cz+d{)}^{k}f(z)$

a on a, b, c, d són sancers tals que ad − bc = 1, definix f que és una forma modular d'orde k.

• Eixemples d'algunes funcions menys conegudes:

$f(x+y)=f(x)f(y)$, satisfeta per totes les funcions exponencials.

$f(xy)=f(x)+f(y)$, satisfeta per totes les funcions logarítmiques.

$f(x+y)=f(x)+f(y)$ (equació funcional de Cauchy).

$f(x+y)+f(x-y)=2(f(x)+f(y))$ (equació quadràtica o llei del paralelogramo).

$F(az)=aF(z)(1-F(z))$ (equació de Poincaré).

$G(z)=\frac{G(G(\lambda z))}{\lambda }$ (teoria del caos, scaling).

$f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{2}$ (Jensen).

$g(x+y)+g(x-y)=2g(x)g(y)$ (d'Alembert).

$f(h(x))=cf(x)$ (equació de Schröder).

$f(h(x))=f(x)+1$ (equació d'Abel)

• Un tipo simple d'equació funcional és una relació de recurrencia. Formalment parlant, açò involucra una funció de variable sancera, i també a operadors de translació.

Un eixemple d'una relació de recurrencia és

$a(n)=3a(n-1)+4a(n-2)$

• Les lleis conmutativa i associativa són equacions funcionals. Quan la llei associativa s'expressa en la seua forma usual, es coloca un símbol entre dos variables per a representar una operació binaria, o siga:

$(ab)\cdot c=a\cdot (bc),$

Pero si s'escriu $f(a,b)$ en lloc de $ab$, llavors la llei associativa s'assembla més a lo que convencionalment es considera com una equació funcional:

$f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)).$

Un aspecte en comú que compartixen tots els eixemples indicats prèviament és que en cada u dels casos dos o més funcions conegudes (algunes voltes la multiplicació per una constant, unes atres la suma de dos variables, o encara la funció identitat) són substituidas en la funció incògnita que es desija resoldre.

Si es pretenen obtindre totes les solucions, és possible que deguen amprar-se condicions pròpies del anàlisis matemàtic; per eixemple, en el cas de la equació de Cauchy mencionada prèviament, les solucions que són funcions contínues són les 'raonables', mentres que les atres solucions que no és provable que tinguen aplicacions pràctiques es poden construir (utilisant una base de Hamel per als número real com a espai vectorial sobre els número racional). El teorema de Bohr-Mollerup és un atre eixemple molt conegut.

Resolució d'equacions funcionals

La resolució d'equacions funcionals pot ser molt difícil, en esta secció es discutixen alguns métodos que se solen utilisar per a resoldre-les. És important analisar les funcions involutivas per a poder resoldre equacions funcionals. Per eixemple, si es considera la funció $f(x)=\frac{1}{x}$. Després considerem f(f(x)) = x, si es contínua en este patró es conclou que s'obté x per a un número par de composicions i f(x) per a un número impar. Esta mateixa idea s'aplica a moltes atres funcions, com ser $f(x)=\frac{1}{1-x},f(x)=1-x$ entre unes atres.

Eixemple 1: Trobar totes les funciones f que complixen que

$f(x+y{)}^2=f(x{)}^2+f(y{)}^2$

per a tot x, i ∈ R.

Siga $x=y=0$: $f(0{)}^2=f(0{)}^2+f(0{)}^2$. Per lo tant $f(0{)}^2=0$ i $f(0)=0$.

Si, es fa $y=-x$:

$f(x-x{)}^2=f(x{)}^2+f(-x{)}^2$

$f(0{)}^2=f(x{)}^2+f(-x{)}^2$

$0=f(x{)}^2+f(-x{)}^2$

Un quadrat d'un número real és no negatiu, i la suma de números no negatius és zero solament si abdós números són 0. Per lo tant $f(x{)}^2=0$ per a tot x i $f(x)=0$ és l'única solució.