Equació funcional de Cauchy

La equació funcional de Cauchy és una equació funcional considerada entre les més simples de representar; no obstant, la seua solució sobre els número real és extremadament complicada. L'equació és

$f(x+y)=f(x)+f(y).$

Sobre els número racional, pot demostrar-se usant àlgebra elemental que hi ha una única família de solucions $f(x)=cx$ per a qualsevol constant c arbitrària.

Esta família de solucions aplica també sobre els reals, pero algunes restriccions adicionals sobre la funció f, com les següents, poden resultar en atres solucions:

• si f és una funció contínua (provada per Cauchy en 1821). Esta condició va ser debilitada en 1875 per Jean Gaston Darboux qui va demostrar que només és necessari que la funció siga contínua en un punt.
• si f és una funció monòtona sobre qualsevol interval.
• si f és una funció acotada en qualsevol interval.

Per un atre costat, si no hi ha condicions adicionals sobre f, després (assumint l'axioma d'elecció) hi ha atres infinites funcions possibles que satisfan l'equació. Açò va ser demostrat en 1905 per Georg Hamel utilisant les bases de Hamel. El quint problema de Hilbert és una generalisació d'esta equació.