Teoria d'operadors

En matemàtiques, la teoria d'operadors és l'estudi de les aplicacions llineals sobre espais funcionals, començant en un operador diferencial i un operador integral. Els operadors es poden presentar de forma abstracta per les seues característiques, com operador llineal acotat o operador tancat, i també es efectuan consideracions sobre les aplicacions no llineals. L'estudi, que depén en gran mida de la topología dels espais de funcions, és una branca del anàlisis funcional.

Si una colecció d'operadors forma un àlgebra sobre un cos, llavors és un àlgebra d'operadors. La descripció de àlgebra d'operadors és part de la teoria d'operadors.

Teoria de l'operador únic

La teoria de l'operador únic s'ocupa de les propietats i la classificació dels operadors, considerats un cada volta. Per eixemple, la classificació d'operadors normals en térmens del seu espectre entra en esta categoria.

Espectre d'operadors

Artícul principal → Teorema de descomposició espectral.

La teorema espectral és qualsevol d'una série de resultats sobre aplicacions llineals o sobre matrius.^[1] En térmens generals, el teorema espectral proporciona condicions baix les quals un operador o una matriu poden ser diagonalizados (és dir, representats com una matriu diagonal d'alguna manera). Este concepte de diagonalización és relativament senzill per a operadors en espais de dimensió finita, pero requerix algunes modificacions per a operadors en espais de dimensió infinita. En general, la teorema espectral identifica una classe d'aplicacions llineals que poden ser modelades pels operadors multiplicació, que són tan simples com es pot esperar trobar. En un llenguage més abstracte, la teorema espectral és una declaració sobre C*-àlgebras conmutativas. Vore també l'artícul sobre teoria espectral per a una perspectiva històrica.

Eixemples d'operadors als que s'aplica la teorema espectral són els operadors autoadjuntos o, més generalment, els operadors normals sobre espais de Hilbert.

La teorema espectral també proporciona una descomposició canònica, denominada descomposició espectral, descomposició de valors propis, o descomposició per autovalores, de l'espai vectorial subjacent sobre el que actua l'operador.

Operadors normals

Artícul principal → Operador Normal.

Un operador normal sobre un espai de Hilbert complex H és una aplicació llineal contínua N : H → H que commuta en el seu operador adjunt N* , és dir: NN* = NN.

Els operadors normals són importants perque complixen el teorema de descomposició espectral. Són entitats ben estudiades, i existixen numerosos eixemples, com:

l'operador unitari: N* = N⁻¹
Els operadors hermíticos (és dir, operadors autoadjuntos: N* = N; també, operadors anti-autoadjuntos: N* = −N)
l'element positiu: N = MM*
Les matrius normals poden vore's com a operadors normals si es pren l'espai de Hilbert com a Cⁿ.

La teorema espectral s'estén a una classe més general de matrius. Siga A un operador en un espai de producte intern de dimensió finita. Es diu que A és normal si A^* A = A A^*. Es pot demostrar que A és normal si i solament si és unitariamente diagonalisable: Per la factorización de Schur, es té que A = O T O^*, a on O és unitària i triangular superior en T.

Com A és normal, T T^* = T^* T. Per lo tant, T deu ser diagonal, ya que les matrius triangulars superiors normals són diagonals. Lo contrari és obvi.

En atres paraules, A és normal si i solament si existix una matriu unitària O tal que

A = U D U^{*}

a on D és una matriu diagonal. Llavors, les entrades de la diagonal de D són els autovalores de A. Els vectores columna de O són els vectores propis de A i són ortonormals. A diferència del cas hermítico, els elements de D no necessiten ser reals.

Descomposició polar

Artícul principal → Descomposició polar.

La descomposició polar de qualsevol operador llineal acotat A entre espais de Hilbert complexos és una factorización canònica com el producte d'una isometría parcial i un operador no negatiu.^[2]

La descomposició polar de matrius es generalisa de la següent manera: si A és un operador llineal acotat, llavors hi ha una factorización única de A com un producte A = UP a on O és una isometría parcial, P és un operador autoadjunto no negatiu i l'espai inicial de O és el tancament del ranc de P.

L'operador O deu ser tan sol una isometría parcial, en lloc d'unitària, pels següents problemes. Si A és el canvi unilateral en l²(N), llavors |A| = (AA)^1/2 = I. Llavors si A = O |A|, O deu ser A, que no és unitari.

L'existència d'una descomposició polar és conseqüència del lema de Douglas:

Lema:
Si A i B són operadors acotats en un espai de Hilbert H, i AA ≤ BB, llavors existix una contracció C tal que A = CB. Ademés, C és únic si Núcleu(B*) ⊂ Núcleu(C).

L'operador C pot ser definit per $C (Bh)= Ah$ , estés per continuïtat fins al tancament de Ran(B), i per zero en el complement ortogonal de $Ran(B)$ . L'operador C està ben definit, ya que $AA \leq BB$ implica que $Núcleu(B) \subset Núcleu(A)$ . Després es complix el lema.

En particular, si $AA = BB$ , llavors C és una isometría parcial, que és única si $Núcleu(B*) \subset Núcleu(C).$ En general, per a qualsevol operador acotat A,

A^{*} A = (A^{*} A)^{\frac{1}{2}} (A^{*} A)^{\frac{1}{2}},

a on (AA)^1/2 és l'única raïl quadrada positiva de AA donada pel càlcul funcional habitual. Aixina que pel lema, es té que

A = U (A^{*} A)^{\frac{1}{2}}

per a alguna isometría parcial O, que és única si Núcleu(A) ⊂ Núcleu(O). Observe's que $Núcleu(A)= Núcleu(AA)= Núcleu(B)= Núcleu(B*)$ , a on $B = B* = (AA) 1/2$ . Prenga's ara P com (AA)^1/2, i llavors s'obté la descomposició polar A = UP. Observe's que es pot usar un argument anàlec per a demostrar que A = P'O' , a on P' és positiu i O' és una isometría parcial.

Quan H és de dimensió finita, O pot estendre's a un operador unitari; açò no és cert en general (vore l'eixemple anterior). Alternativament, la descomposició polar es pot mostrar utilisant la versió de l'operador per a la descomposició en valors singulars.

Per les propietats del càlcul funcional continu, |A| està en la C*-àlgebra generada per A. Una declaració similar pero més dèbil val per a la isometría parcial: la part polar O està en l'àlgebra de von Neumann generada per A. Si A és invertible, O també estarà en el C*-àlgebra generada per A.

Conexió en anàlisis complex

Molts operadors que s'estudien són operadors en espais de Hilbert de funcions holomorfas, i l'estudi de l'operador està íntimament lligat a les qüestions de la teoria de funcions.

Per eixemple, el teorema de Beurling descriu els subespacios invariantes del canvi unilateral en térmens de funcions internes, que són funcions holomorfas acotades en el disc unitari en valors llímit unimodulares en casi totes parts del círcul. Beurling va interpretar el canvi unilateral com una multiplicació per la variable independent en l'espai de Hardy.^[3] L'èxit en l'estudi dels operadors de multiplicació i, més generalment, en els operadors de Toeplit (que són multiplicacions seguides de proyecció en l'espai de Hardy) ha inspirat l'estudi de preguntes similars en atres espais, com l'espai de Bergman.

Àlgebra d'operadors

La teoria del àlgebra d'operadors posa de relleu les àlgebra d'operadors com C*-àlgebras.

C*-àlgebra

Artícul principal → C*-àlgebra.

Una C*-àlgebra, A, és un àlgebra de Banach sobre el camp dels número complejo, junt en un map $* : A \to A$ . S'escriu x* per a l'image d'un element x de A. El mapa * té les següents propietats:^[4]

És una involució, per cada x en A $x^{* *} = (x^{*})^{*} = x$
Per a tot x, i en A: $(x + y)^{*} = x^{*} + y^{*}$ $(x y)^{*} = y^{*} x^{*}$
Per a cada λ en C i cada x en A: $(λ x)^{*} = \overline{λ} x^{*} .$
Per a tot x en A: $‖ x^{*} x ‖ = ‖ x ‖ ‖ x^{*} ‖ .$

Observació: les primeres tres identitats diuen que A és un *-àlgebra. L'última identitat es diu la identitat C* i és equivalent a: $‖ x x^{*} ‖ = ‖ x ‖^{2},$

L'identitat C* és un requisit molt fort. Per eixemple, junt en la fòrmula del radi espectral, implica que la norma C* està determinada únicament per l'estructura algebraica:

‖ x ‖^{2} = ‖ x^{*} x ‖ = \sup {| λ | : x^{*} x - λ 1 no es invertible} .

Vore també

Referències

↑ Sunder, V.S. Functional Analysis: Spectral Theory (1997) Birkhäuser Verlag
↑ (2000).«A Course in Operator Theory».American Mathematical Society.
↑ (1986).«A treatise on the shift operator».Springer-Verlag.. A sophisticated treatment of the connections between Operator theory and Function theory in the Hardy space.
↑ (1976).«An Invitation to C*-Algebra».Springer-Verlag.. Una excelent introducció al tema, accessible per a aquells en un coneiximent bàsic del anàlisis funcional.

Llectures relacionades

Conway, J. B.: Un curs d'anàlisis funcional, 2ª edició, Springer-Verlag, 1994, Plantilla:Isbn
(1993) Introduction to Operator Theory, Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-0582237438.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Teoría de operadores» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Sunder, V.S. Functional Analysis: Spectral Theory (1997) Birkhäuser Verlag

[2] (2000).«A Course in Operator Theory».American Mathematical Society.

[3] (1986).«A treatise on the shift operator».Springer-Verlag.. A sophisticated treatment of the connections between Operator theory and Function theory in the Hardy space.

[4] (1976).«An Invitation to C*-Algebra».Springer-Verlag.. Una excelent introducció al tema, accessible per a aquells en un coneiximent bàsic del anàlisis funcional.

[1]

[2]

[3]

[4]