*-àlgebra

En matemàtiques, més específicament en àlgebra abstracta, un *-àlgebra (també coneguda com a àlgebra involutiva o *-algebra en anglés) és una estructura matemàtica que consta de dos anells involutivos $R$ i $A$, a on $R$ és conmutativo i $A$ té l'estructura d'un àlgebra associativa sobre $R$. Les àlgebra involutivas generalisen l'idea de la conjugació en un sistema numèric, per eixemple els número complejo i conjugació complexa, matrius sobre els número complejo i la conjugada trasponer, i operadors llineals sobre un espai de Hilbert i l'Operador adjunt. Aixina i tot, pot passar que una àlgebra no admet cap involució en absolut.

Definició

*-Anelle

Un *-anell és un anell en una funció ${}^{*}:A\to A$, el qual és un antiautomorfismo i una involució. D'una forma més precisa, daus $x,y\in A$ es complixen les condicions

1. Linealidad: $(x+y{)}^{*}=x^{*}+y^{*}$.
2. Contravariante: $(xy{)}^{*}=y^{*}{x}^{*}$.
3. Idempotencia: $x^{**}=(x^{*}{)}^{*}=x$.

Açò també pot ser cridat com a anell involutivo o anell en involució. Note que si l'anell té unitat multiplicativa, digam $1_A$, llavors $1_A=1_A^{*}$.

Elements tals que $x^{*}=x$ són cridats auto-adjunts.

També, és possible definir *-versions d'objectes algebraics, com ideals i subanillos, en el requisit de ser *-invariante, per eixemple si $I$ és un ideal i $x\in I$ llavors si $x^{*}\in I$ direm que $I$ és un *-ideal.

*-Àlgebra

Una *-àlgebra $A$ és un *-anell, en una involució * que és una àlgebra associativa sobre un *-anell conmutativo $R$ en involució ${}^{\prime }$, tal que $(rx{)}^{*}=r^{\prime }{x}^{*}$ para tot $r\in R$ i $x\in A$. A sovint l'anell $R$ correspon als número complejo (en ${}^{\prime }$ com a conjugació complexa).

Seguix dels axioma que * en $A$ és antilineal en $R$, és dir,

$(\lambda x+\mu y{)}^{*}=\bar{\lambda }{x}^{*}+\bar{\mu }{y}^{*}$ para tot $x,y\in A\text{ y }\lambda ,\mu \in R.$

Un *-homomorfisme $\phi :A\to B$ és un homomorfisme de *-álgeras que és compatible en les involució de $A$ i $B$ , és dir, $\phi (x^{{*}_A})=\phi (x{)}^{{*}_B}$ para tot $x\in A$ (a on ${}^{{*}_A}$ i ${}^{{*}_B}$ són les involució de $A$ i $B$ respectivament).

Eixemples

• Qualsevol anell conmutativo és un *-anell en l'involució trivial ($x^{*}=x$ para tot $x\in A$).
• L'eixemple més familiar d'un *-anell i una *-àlgebra sobre els reals $ℝ$, és el cos dels número complejo $ℂ$ on * és la conjugació complexa.
• Una extensió de cossos feta en adjuntar una raïl quadrada (com l'unitat imaginària $i=\sqrt{-1}$) és una *-àlgebra sobre el cos original, considerat com un *-anell trivial (involucón trivial). L'involució * correspon al canvi de signe d'aquella raïl quadrada.
• Cuaterniones, número complejo hiperbòlics i números duals. Note que cap d'estos eixemples és una àlgebra complexa.

• Els cuaterniones de Hurwitz formen un *-anell conmutativo.
• L'àlgebra de matrius ${ℳ}_{n\times n}(ℝ)$, a on * correspon a la transposició.
• L'àlgebra de matrius ${ℳ}_{n\times n}(ℂ)$, a on * correspon a la trasponer conjugada.
• En l'àlgebra dels operadors llineals acotats sobre un espai de Hilbert $\mathscr{H}$, l'operació * correspon al operador adjunt.

Vore també

• C*-àlgebra
• Àlgebra de von Neumann
• Àlgebra d'operadors
• Conjugació (Àlgebra)
• Construcció de Cayley-Dickson