Construcció de Cayley-Dickson

En matemàtiques, la construcció de Cayley-Dickson produïx una seqüència d'àlgebra sobre el cos dels número real, cada una en dimensió doble que l'anterior. Les àlgebra produïdes per este procés són conegudes com a àlgebra de Cayley-Dickson; ya que són una extensió dels número complejo, són números hipercomplejos.

Totes estes àlgebra tenen els conceptes de norma i conjugat, sent l'idea general que el producte d'un element i el seu conjugat deuria ser el quadrat de la seua norma.

La sorpresa és que per als primers passos, ademés de tindre dimensió més alta, la següent àlgebra pert alguna propietat algebraica específica.

Introducció

Pas1. El pas de $ℝ$ a $ℂ$

Els número complejo poden escriure's com a parells ordenats $(a,b)$ d'número real $a$ i $b$, en la suma definida component a component i el producte definit per l'expressió:

$(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc).$

La conjugació d'un número complejo quedarà definida per:

$(a,b{)}^{*}=(a,-b).$

Com a primera conseqüència, el producte d'un número complejo aixina format, pel seu conjugat $(a,b{)}^{*}(a,b)=(aa+bb,ab-ba)=(a^2+b^2,0),$ serà sempre un número real no negatiu, en lo que podrem definir el seu raïl quadrada (la norma de l'número complejo):

$|z|=(z^{*}z{)}^{1/2}.$

Este mateix procediment, en unes llaugeres modificacions en la definició del producte i de la conjugació, nos permetrà definir els següents passos de la construcció de Cayley-Dickson.

Pas 2. El pas de $ℂ$ a $ℍ$

A partir d'una parella $(a,b)$ d'número complejo $a$ i $b$, podem definir el producte

$(a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+b{c}^{*}).$

Observem dos variacions en la fòrmula que permetia el pas de R a C: ací l'orde és important, puix el nou producte no serà conmutativo, i apareix el conjugat dels número complejo (puix abans el conjugat d'un número real era ell mateixa).

La conjugació quedarà definida com:

$(a,b{)}^{*}=(a^{*},-b).$

De nou el producte d'un element pel seu conjugat serà un número real no negatiu:

$(a,b{)}^{*}(a,b)=(a^{*},-b)(a,b)=(a^{*}a+b{b}^{*},b{a}^{*}-b{a}^{*})=(|a{|}^2+|b{|}^2,0).$

Açò nos permetrà definir la norma d'estos parells ordenats. A l'àlgebra de dimensió quatre que formen estos parells ordenats se li coneix en el nom de cuaterniones.

El procediment general

El procediment general repetix exactament les definicions donades en el segon pas (de $ℂ$ a $ℍ$). De fet, el primer pas (de $ℝ$ a $ℂ$) pot vore's com un cas particular del procediment general. En el tercer pas es construirien els octoniones com a parelles de cuaterniones. En el quart pas es construirien els sedeniones com a parelles de octoniones. El procés pot repetir-se indefinidament.

Referències

• . (See "Section 2.2, The Cayley-Dickson Construction")