Número dual (matemàtiques)

En àlgebra llineal, els números duals estenen els número real en incorporar un nou element ε, en la propietat de que ${\epsilon }^2=0$ (és dir, ε és nilpotent). Aixina, la multiplicació de números duals està donada per

$(a+b\epsilon )(c+d\epsilon )=ac+(ad+bc)\epsilon$

(i l'adició es realisa per components).

La colecció de números duals forma un àlgebra associativa conmutativa i unitària bidimensional particular sobre els número real. Cada número dual té la forma z = a + bε, a on a i b són número real determinats de forma única. Els números duals també poden considerar-se com l'àlgebra exterior d'un espai vectorial unidimensional. El cas general de n dimensions conduïx als números de Grassmann.

l'àlgebra dels números duals és un anell que és de caràcter local, ya que l'ideal principal generat per ε és el seu únic ideal maximal.

Els números duals formen els coeficients dels cuaterniones duals.

De la mateixa manera que els número complejo i els número complejo hiperbòlics, els números duals formen un àlgebra que és bidimensional sobre el camp dels número real.

Història

Els números duals varen ser introduïts en 1873 per William Clifford, i varen ser utilisats a principis de el XX pel matemàtic alemà Eduard Study, qui els va usar per a representar l'àngul doble que medix la posició relativa de dos rectes oblicuas en l'espai. Study va definir un àngul doble com $\vartheta +d\epsilon$, a on $\vartheta$ és l'àngul entre les direccions de dos rectes en un espai tridimensional i $d$ és una distància entre elles. La generalisació n dimensional, els números de Grassmann, va ser introduïda per Hermann Grassmann a finals de el XIX.

Representació llineal

Usant matrius, els números duals es poden representar com

$\epsilon =\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\text{y}a+b\epsilon =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right).$

La suma i el producte dels números duals es calculen en adició matricial i multiplicació de matrius ordinàries; abdós operacions són conmutativas i associatives dins de l'àlgebra de números duals.

Esta correspondència és anàloga a la matrix representació matricial d'número complejo habitual. No obstant, no és l'única representació en matrius reals 2 × 2, com es demostra en perfil de matrius reals 2 × 2.

Vore també

• Anàlisis infinitesimal suau
• Teoria perturbacional
• Torsor
• Número dual-complex
• Número de Grassmann

Bibliografia

• Bencivenga, Ulderico (1946) "Sulla rappresentazione geometrica delle algebre doppie dotate vaig donar module", Atti della Reale Accademia delle Scienze i Belle-Lettere vaig donar Napoli, Ser (3) v.2 No7. Plantilla:MathSciNet.
• William Kingdon Clifford (1873) Preliminary Sketch of Bi-quaternions, Proceedings of the London Mathematical Society 4:381–95
• Anthony A. Harkin & Joseph B. Harkin (2004) Geometry of Generalized Complex Numbers, Mathematics Magazine 77(2):118–29.
• William Miller & Rochelle Boehning (1968) "Gaussian, Parabolic and Hyperbolic Numbers", The Mathematics Teacher 61(4): 377–82.
• Eduard Study (1903) Geometrie der Dynamen, page 196, from Cornell Historical Mathematical Monographs at Cornell University.
• Isaak Yaglom (1968) Complex Numbers in Geometry, pp 12–18, Academic Press.
• “Higher” tangent space