Teoria perturbacional

En mecànica quàntica, la teoria perturbacional o teoria de destorbament és un conjunt d'esquemes aproximats per a descriure sistemes quàntics complicats en térmens d'uns atres més senzills. L'idea és escomençar en un sistema simple i gradualment anar activant hamiltonianos "perturbativos", que representen chicotetes alteracions al sistema. Si l'alteració o destorbament no és massa gran, les diverses magnituts físiques associades al sistema pertorbat (per eixemple els seus nivells d'energia i les seues estats propis) podran ser generats de forma contínua a partir dels del sistema senzill. D'esta forma, podem estudiar el sistema complex basant-nos en el sistema senzill.

En particular en estudiar les energies d'un sistema físic, el método consistix en identificar dins del Hamiltoniano (pertorbat) que partix d'est correspon a un problema en solució coneguda (Hamiltoniano no pertorbat en cas que la seua solució siga analítica) i considerar el restant com un potencial que modifica a l'anterior Hamiltoniano. Dita identificació permet escriure als autoestados del Hamiltoniano pertorbat com una combinació llineal dels autoestados del Hamiltoniano sense pertorbar i a les autoenergías com les autoenergías del problema sense pertorbar més térmens correctivos.

Procediment

Case no degenerado

Siga $H$ el Hamiltoniano d'un sistema físic. D'acort en lo abans mencionat, el mateix es pot escriure com $\hat{H}={\hat{H}}_0+\lambda \hat{V}$, a on ${\hat{H}}_0$ correspon al Hamiltoniano sense pertubar (les solucions del qual es coneixen) i $\hat{V}$ és el potencial que modifica a $H_0$. El paràmetro $\lambda$ controla la magnitut del destorbament. En general és un paràmetro fictici que s'usa per conveniència matemàtica i que al final de l'anàlisis es pren $\lambda =1$. Per un atre costat, els autoestados de $H$ s'escriuen com una combinació llineal dels autoestados de $H_0$

i les energies com

a on $E_n^{(k)}$ és la $k$-ésima correcció a l'energia. L'índex $k$ indica l'orde de la correcció començant per $k=0$. És dir, quant major siga $k$, millor aproximació es tindrà i per a $k=0$ no hi ha correcció alguna. En les anteriors expressions s'ha supost que

Si reemplacem les expressions per a $H$, $E_n$ i $|{\psi }_n⟩$ en la segona equació de l'anterior llínea es té

$H|{\psi }_n⟩=E_n|{\psi }_n⟩$ $(H_0+\lambda V)\sum _m\sum _k{\lambda }^k{c}_{nm}^{(k)}|{\psi }_m^{(0)}⟩=(\sum _{k_1}{\lambda }^{k_1}{E}_n^{(k_1)})\sum _{m^{\prime }}\sum _{k_2}{\lambda }^{k_2}{c}_{n{m}^{\prime }}^{(k_2)}|{\psi }_{m^{\prime }}^{(0)}⟩$ $\sum _k\sum _m{\lambda }^k{c}_{nm}^{(k)}(E_m^{(0)}+\lambda V)|{\psi }_m^{(0)}⟩=\sum _{k_1}\sum _{k_2}\sum _{m^{\prime }}{E}_n^{(k_1)}{\lambda }^{k_1+k_2}{c}_{n{m}^{\prime }}^{(k_2)}|{\psi }_{m^{\prime }}^{(0)}⟩$ $\sum _k\sum _m{\lambda }^k{c}_{nm}^{(k)}(E_m^{(0)}+\lambda V)|{\psi }_m^{(0)}⟩=\sum _{k_1,k_2}\sum _{m^{\prime }}{E}_n^{(k_1)}{\lambda }^{k_1+k_2}{c}_{n{m}^{\prime }}^{(k_2)}|{\psi }_{m^{\prime }}^{(0)}⟩$ $\sum _m{c}_{nm}^{(0)}{E}_m^{(0)}|{\psi }_m^{(0)}⟩+\sum _{k=1}\sum _m{\lambda }^k(c_{nm}^{(k)}{E}_m^{(0)}+c_{nm}^{(k-1)}V)|{\psi }_m^{(0)}⟩=\sum _{m^{\prime }}{c}_{n{m}^{\prime }}^{(0)}{E}_n^{(0)}|{\psi }_{m^{\prime }}^{(0)}⟩+\sum _{k_1+k_2=1}\sum _{m^{\prime }}{E}_n^{(k_1)}{\lambda }^{k_1+k_2}{c}_{n{m}^{\prime }}^{(k_2)}|{\psi }_{m^{\prime }}^{(0)}⟩$ $\sum _m{c}_{nm}^{(0)}(E_m^{(0)}-E_n^{(0)})|{\psi }_m^{(0)}⟩+\sum _{k=1}\sum _m{\lambda }^k(c_{nm}^{(k)}{E}_m^{(0)}+c_{nm}^{(k-1)}V)|{\psi }_m^{(0)}⟩=\sum _{k_1+k_2=1}\sum _{m^{\prime }}{E}_n^{(k_1)}{\lambda }^{k_1+k_2}{c}_{n{m}^{\prime }}^{(k_2)}|{\psi }_{m^{\prime }}^{(0)}⟩$

Esta igualtat es deu satisfer per a tot orde de $\lambda$. El primer terme del costat esquerre de l'última llínea correspon a l'orde $k=0$ i deu ser idénticamente nul ya que del costat dret de l'igualtat no existixen térmens de dit orde en $\lambda$. Açò implica que, per a que tota la suma s'anule, els $c_{nm}^{(0)}={\delta }_{nm}$, a on ${\delta }_{nm}$ és la delta de Kronecker.

Per un atre costat, quan $k=1$ es té en el costat esquerre el primer orde de $\lambda$ que s'obté en el costat dret quan $k_1+k_2=1$, és dir quan $k_1=1\wedge k_2=0$ o be quan $k_1=0\wedge k_2=1$. Per lo tant es té

$\sum _m(c_{nm}^{(1)}{E}_m^{(0)}+c_{nm}^{(0)}V)|{\psi }_m^{(0)}⟩=\sum _{m^{\prime }}(E_n^{(1)}{c}_{n{m}^{\prime }}^{(0)}+E_n^{(0)}{c}_{n{m}^{\prime }}^{(1)})|{\psi }_{m^{\prime }}^{(0)}⟩$

Per al segon orde, $k=2$ i $k_1=2\wedge k_2=0$, $k_1=1\wedge k_2=1$ i $k_1=0\wedge k_2=2$, llavors

$\sum _m(c_{nm}^{(2)}{E}_m^{(0)}+c_{nm}^{(1)}V)|{\psi }_m^{(0)}⟩=\sum _{m^{\prime }}(E_n^{(2)}{c}_{n{m}^{\prime }}^{(0)}+E_n^{(1)}{c}_{n{m}^{\prime }}^{(1)}+E_n^{(0)}{c}_{n{m}^{\prime }}^{(2)})|{\psi }_{m^{\prime }}^{(0)}⟩$

Per al tercer orde, $k=3$ i $k_1=3\wedge k_2=0$, $k_1=2\wedge k_2=1$, $k_1=1\wedge k_2=2$ i $k_1=0\wedge k_2=3$, llavors

$\sum _m(c_{nm}^{(3)}{E}_m^{(0)}+c_{nm}^{(2)}V)|{\psi }_m^{(0)}⟩=\sum _{m^{\prime }}(E_n^{(3)}{c}_{n{m}^{\prime }}^{(0)}+E_n^{(2)}{c}_{n{m}^{\prime }}^{(1)}+E_n^{(1)}{c}_{n{m}^{\prime }}^{(2)}+E_n^{(0)}{c}_{n{m}^{\prime }}^{(3)})|{\psi }_{m^{\prime }}^{(0)}⟩$

i aixina successivament fins a l'orde que es desige. A partir de les anterior igualtats és possible calcular tots els coeficients $c_{nm}^{(k)}$ de les combinacions llineals i les correccions a les energies $E_n^k$. Per a obtindre-les es procedix del següent modo: primer s'usa el fet que $c_{nm}^{(0)}={\delta }_{nm}$ en la qual cosa, per als tres órdens respectivament es té,

$\sum _m{c}_{nm}^{(1)}{E}_m^{(0)}|{\psi }_m^{(0)}⟩+V|{\psi }_n^{(0)}⟩=E_n^{(1)}|{\psi }_n^{(0)}⟩+\sum _{m^{\prime }}{E}_n^{(0)}{c}_{n{m}^{\prime }}^{(1)}|{\psi }_{m^{\prime }}^{(0)}⟩$ $\sum _m(c_{nm}^{(2)}{E}_m^{(0)}+c_{nm}^{(1)}V)|{\psi }_m^{(0)}⟩=E_n^{(2)}|{\psi }_n^{(0)}⟩+\sum _{m^{\prime }}(E_n^{(1)}{c}_{n{m}^{\prime }}^{(1)}+E_n^{(0)}{c}_{n{m}^{\prime }}^{(2)})|{\psi }_{m^{\prime }}^{(0)}⟩$ $\sum _m(c_{nm}^{(3)}{E}_m^{(0)}+c_{nm}^{(2)}V)|{\psi }_m^{(0)}⟩=E_n^{(3)}|{\psi }_n^{(0)}⟩+\sum _{m^{\prime }}(E_n^{(2)}{c}_{n{m}^{\prime }}^{(1)}+E_n^{(1)}{c}_{n{m}^{\prime }}^{(2)}+E_n^{(0)}{c}_{n{m}^{\prime }}^{(3)})|{\psi }_{m^{\prime }}^{(0)}⟩$

Per a trobar les correccions a l'energia es deu multiplicar pel bra $⟨{\psi }_n^{(0)}|$ i usar que $⟨{\psi }_n^{(0)}|{\psi }_m^{(0)}⟩={\delta }_{nm}$, obtenint-se llavors

$c_{nn}^{(1)}{E}_n^{(0)}+⟨{\psi }_n^{(0)}|V|{\psi }_n^{(0)}⟩=E_n^{(1)}+E_n^{(0)}{c}_{nn}^{(1)}$ $c_{nn}^{(2)}{E}_n^{(0)}+\sum _m{c}_{nm}^{(1)}⟨{\psi }_n^{(0)}|V|{\psi }_m^{(0)}⟩=E_n^{(2)}+(E_n^{(1)}{c}_{nn}^{(1)}+E_n^{(0)}{c}_{nn}^{(2)})$ $c_{nn}^{(3)}{E}_n^{(0)}+\sum _m{c}_{nm}^{(2)}⟨{\psi }_n^{(0)}|V|{\psi }_m^{(0)}⟩=E_n^{(3)}+(E_n^{(2)}{c}_{nn}^{(1)}+E_n^{(1)}{c}_{nn}^{(2)}+E_n^{(0)}{c}_{nn}^{(3)})$

Reordenando les anteriors expressions i rebujant per a la correcció desijada es té

$E_n^{(1)}=⟨{\psi }_n^{(0)}|V|{\psi }_n^{(0)}⟩$ $E_n^{(2)}=\sum _m{c}_{nm}^{(1)}⟨{\psi }_n^{(0)}|V|{\psi }_m^{(0)}⟩-E_n^{(1)}{c}_{nn}^{(1)}$ $E_n^{(3)}=\sum _m{c}_{nm}^{(2)}⟨{\psi }_n^{(0)}|V|{\psi }_m^{(0)}⟩-(E_n^{(2)}{c}_{nn}^{(1)}+E_n^{(1)}{c}_{nn}^{(2)})$

D'esta manera s'han obtingut les correccions per a les energies en térmens de relacions recursivas partint de la primera correcció el valor de la qual és l'element de matriu $E_n^{(1)}=⟨{\psi }_n^{(0)}|V|{\psi }_n^{(0)}⟩$. Les correccions també depenen dels coeficients de les combinacions llineals. Estos poden ser trobats en un raonament similar, en efecte, si en lloc d'haver multiplicar per $⟨{\psi }_n^{(0)}|$ es multiplica per $⟨{\psi }_l^{(0)}|$ en $l\ne n$ es té

$c_{nl}^{(1)}{E}_l^{(0)}+⟨{\psi }_l^{(0)}|V|{\psi }_n^{(0)}⟩=E_n^{(0)}{c}_{nl}^{(1)}$ $c_{nl}^{(2)}{E}_l^{(0)}+\sum _m{c}_{nm}^{(1)}⟨{\psi }_l^{(0)}|V|{\psi }_m^{(0)}⟩=E_n^{(1)}{c}_{nl}^{(1)}+E_n^{(0)}{c}_{nl}^{(2)}$ $c_{nl}^{(3)}{E}_l^{(0)}+\sum _m{c}_{nm}^{(2)}⟨{\psi }_l^{(0)}|V|{\psi }_m^{(0)}⟩=E_n^{(2)}{c}_{nl}^{(1)}+E_n^{(1)}{c}_{nl}^{(2)}+E_n^{(0)}{c}_{nl}^{(3)}$

Reordenando per a este cas,

$c_{nl}^{(1)}=\frac{⟨{\psi }_l^{(0)}|V|{\psi }_n^{(0)}⟩}{E_n^{(0)}-E_l^{(0)}}$ $c_{nl}^{(2)}=\frac{\sum _m{c}_{nm}^{(1)}⟨{\psi }_l^{(0)}|V|{\psi }_m^{(0)}⟩-E_n^{(1)}{c}_{nl}^{(1)}}{E_n^{(0)}-E_l^{(0)}}$ $c_{nl}^{(3)}=\frac{\sum _m{c}_{nm}^{(2)}⟨{\psi }_l^{(0)}|V|{\psi }_m^{(0)}⟩-(E_n^{(2)}{c}_{nl}^{(1)}+E_n^{(1)}{c}_{nl}^{(2)})}{E_n^{(0)}-E_l^{(0)}}$

Els coeficients $c_{nn}^{(k)}$ es calculen per normalisació de l'estat $|{\psi }_n⟩$. Una volta obtinguts tots els coeficients i les correccions a l'energia de l'orde desijat li'ls reemplaça en les expressions expostes inicialment per a determinar els autoestados de $H$ i les autoenergías de dit operats, respectivament.

Per eixemple, si es desija calcular la correcció per a l'energia a primer orde i els autoestados corresponents, les expressions

$|{\psi }_n⟩=\sum _m\sum _k{\lambda }^k{c}_{nm}^{(k)}|{\psi }_m^{(0)}⟩$ i $E_n=\sum _k{\lambda }^k{E}_n^{(k)}$

es tallen per a $k=1$ quedant

$|{\psi }_n⟩=\sum _m{c}_{nm}^{(0)}|{\psi }_m^{(0)}⟩+\sum _m{c}_{nm}^{(1)}|{\psi }_m^{(0)}⟩$ i $E_n=E_n^{(0)}+E_n^{(1)}$

després, es reemplacen els resultats abans trobats

$|{\psi }_n⟩=(1+c_{nn}^{(1)})|{\psi }_n^{(0)}⟩+\sum _{m\ne n}\frac{⟨{\psi }_l^{(0)}|V|{\psi }_n^{(0)}⟩}{E_n^{(0)}-E_l^{(0)}}|{\psi }_m^{(0)}⟩$ i $E_n=E_n^{(0)}+⟨{\psi }_n^{(0)}|V|{\psi }_n^{(0)}⟩$

i s'obtenen les aproximacions dels estats i les energies per al problema en el destorbament $V$.

Cas degenerado

Ara vejam el cas en que l'operador no pertorbat ${\hat{H}}_0$ posseïxca valors propis degenerados. Cridem $|{\psi }_n^k⟩$ a estes autofunciones (que prendrem ortonormals $⟨{\psi }_n^p|{\psi }_m^k⟩={\delta }_{nm}{\delta }_{kp}$ ) associades al autovalor $E_n^{(0)}$.

${\hat{H}}_0|{\psi }_n^k⟩=E_n^{(0)}|{\psi }_n^k⟩$

Devem recordar que les combinacions llineals dels autoestados degenerados d'un mateix nivell energètic formen un subespacio vectorial del espai de Hilbert del sistema físic. És dir, qualsevol combinació llineal dels estats $|{\psi }_n^k⟩$ és a la seua volta un autoestado de ${\hat{H}}_0$ en el mateix autovalor. En este cas sorgixen complicacions matemàtiques que nos obliguen a considerar solament les aproximacions al primer orde en l'energia i a orde zero en les autofunciones. En efecte, busquem resoldre:

$({\hat{H}}_0+\lambda \hat{V})|\psi ⟩=E|\psi ⟩$

A on assumim que podem escriure

$|\psi ⟩=\sum _k{C}_k|{\psi }_n^k⟩$

$E=E_n^{(0)}+\lambda E_n^{(1)}$

A on els coeficients $C_k$ són d'orde zero en $\lambda$. Reemplaçant en l'equació de Schrödinger:

$\sum _k{C}_k\hat{V}|{\psi }_n^k⟩=E_n^{(1)}\sum _k{C}_k|{\psi }_n^k⟩$

Fent producte intern en $|{\psi }_n^p⟩$ i definint $V_{pk}=⟨{\psi }_n^p|\hat{V}|{\psi }_n^k⟩$ obtenim:

$\sum _k{V}_{pk}{C}_k=E_n^{(1)}\sum _k{C}_k{\delta }_{pk}$

Si considerem la matriu $V$ formada pels elements matriciales $V_{pk}$ i el vector columna $C$ (d'elements $C_k$), és fàcil donar-se conte de que l'equació anterior pot escriure's en forma matricial:

$VC=E_n^{(1)}C$

L'anterior equació és una equació de valors propis. ya que requerim solucions no nules per a les autofunciones deu complir-se que:

$|V-E_n^{(1)}I|=0$

L'anterior és una equació de grau igual a l'orde de degeneració $g_n$ del nivell $E_n^{(0)}$, i té en general $g_n$ solucions diferents. Estes solucions van a ser les correccions (al primer orde en $\lambda$) de l'energia. Els autoestados correspodientes són les solucions de l'equacions per als $C_k$ (tinga's en conte que en les equacions d'este tipo sempre queda una incògnita arbitrària que després serà la que permet la normalisació del autoestado). ya que en general les solucions per a $E_n^{(1)}$ seran diferents, ya no hi haurà degeneració en el sistema pertorbat. Es diu que el destorbament trenca la degeneració'. En atres casos, la degeneració pot ser trencada en forma parcial, és dir, es pot obtindre un sistema de autoestados en una degeneració menor a l'original.

Vore també

• Teorema adiabàtica

Referències

Bibliografia

• William E. Wiesel (2010). Modern Astrodynamics. Ohio: Aphelion Press. p. 107. ISBN 978-145378-1470.
• Cropper, William H. (2004), Great Physicists: The Life and Claves of Leading Physicists from Galileo to Hawking, Oxford University Press, p. 34, ISBN 978-0-19-517324-6.
• Perturbation theory. N.N. Bogolyubov, jr. (originator), Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Perturbation_theory&oldid=11676
• Sakurai, J.J., and Napolitano, J. (1964,2011). Modern quàntum mechanics (2nd ed.), Addison Wesley ISBN 978-0-8053-8291-4 . Chapter 5.
• Martínez-Carranza, J.; Soto-Eguibar, F.; Moya-Cessa, H. (2012). "Alternative analysis to perturbation theory in quàntum mechanics". The European Physical Journal D 66. doi:10.1140/epjd/i2011-20654-5. edit