Número de Grassmann

En física matemàtica, un número de Grassmann, cridat aixina en nom d'Hermann Grassmann, (també cridat número anticonmutante o número c anticonmutante) és una construcció matemàtica que permet una representació integral de camí de camp fermiónicos. Una colecció de variables de Grassmann ${\theta }_i$ són elements independents d'un àlgebra que conté els número real que anticonmutan un en l'atre pero commuten en números ordinaris $x$:

${\theta }_i{\theta }_j=-{\theta }_j{\theta }_i{\theta }_{i}x=x{\theta }_i.$

En particular, el quadrat dels generadors s'anula:

$({\theta }_i{)}^2=0$, ya que ${\theta }_i{\theta }_i=-{\theta }_i{\theta }_i.$

Per a reproduir l'integral de camí d'un camp de Fermi, la definició de Grassmann requerix tindre les següents propietats:

• linealidad

$\int [af(\theta )+bg(\theta )]d\theta =a\int f(\theta )d\theta +b\int g(\theta )d\theta$

• satisfer la fòrmula d'integració parcial

$\int [\frac{\partial }{\partial \theta }f(\theta )]d\theta =0.$

D'esta forma, les següents regles per a l'integració d'una cantitat de Grassmann són:

$\int 1d\theta =0$

$\int \theta d\theta =1.$

Per lo tant, concloem que les operacions de l'integració i la diferenciació d'un número de Grassmann són idèntiques.

En la formulació d'integral de camí de la teoria quàntica de camps la següent integral de Gauss de cantitats de Grassmann és necessària per a camps fermiónicos anticonmutantes:

$\int \exp \left[{\theta }^{T}A\eta \right]d\theta d\eta =\det A$

en A sent una matriu de N &claves; N.

l'àlgebra generada per un conjunt de números de Grassmann és conegut com un àlgebra de Grassmann. L'àlgebra de Grassmann generada per n números de Grassmann linealmente independents té dimensió 2ⁿ .

Els Àlgebra de Grassmann són eixemples prototípicos d'àlgebra superconmutativas. Estos són àlgebra en una descomposició en variables parells i impars, que satisfan una versió graduada de conmutatividad (en particular, elements impars anticonmutan).

Àlgebra exterior

L'àlgebra de Grassmann és l'àlgebra exterior del espai vectorial comprés pels generadors. L'àlgebra exterior es definix independent de l'elecció de base.

Representacions de la matriu

Els números de Grassmann sempre poden ser representats per matrius. Considerem, per eixemple, l'àlgebra de Grassmann generada per dos números de Grassmann ${\theta }_1$ i ${\theta }_2$. Estos números de Grassmann poden ser representats per matrius 4&claves;4:

${\theta }_1=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]{\theta }_2=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\end{array}\right]{\theta }_1{\theta }_2=-{\theta }_2{\theta }_1=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right].$

En general, un àlgebra de Grassmann de n generadors pot ser representat per 2ⁿ &claves;2ⁿ matrius quadrades. Físicament, estes matrius poden considerar-se com operadors d'escala actuant en un espai de Hilbert de n fermiones idèntics en el número base d'ocupació. Ya que el número d'ocupació per a cada fermión és 0 o 1, hi ha 2ⁿ possible d'estats base. Matemàticament, estes matrius poden interpretar-se com els operadors llineals corresponents a la multiplicació exterior esquerra en l'àlgebra de Grassmann per sí mateixa.

Vore també

• Grassmannian
• Llei de Grassmann (fonologia)
• Llei de Grassmann (òptica)
• Producte exterior

Referències

^{[enllaç trencat]}