Operador escala

En àlgebra llineal, anàlisis funcional i en les seues aplicacions a la mecànica quàntica, un operador de pujada o de baixada (també coneguts com a operadors escala) és un operador que aumenta o disminuïx l'autovalor d'un atre operador. En mecànica quàntica, l'operador de pujada també es denomina operador de creació mentres que el de baixada es denomina operador de destrucció o aniquilació. Estes denominacions es deuen a que l'operador escala lleva o agrega un quant a l'energia que coincidix en els autovalores de l'equació de Schrödinger independent del temps. Aplicacions dels operadors escala es poden vore en l'oscilador harmònic quàntic i en el moment angular.

Propietats generals

Supongam que dos operadors $\hat{X}$ i $\hat{N}$ tenen una relació de conmutación que és proporcional a l'operador $\hat{X}$:

sent $c$ un escalar. Llavors l'operador $\hat{X}$ actuarà de tal forma que desplaçarà el autovalor i autovector de $\hat{N}$ una cantitat $c$. En efecte:

$\hat{N}\hat{X}|n⟩$	$=(\hat{X}\hat{N}+[\hat{N},\hat{X}])|n⟩$
	$=(\hat{X}\hat{N}+c\hat{X})|n⟩$
	$=\hat{X}\hat{N}|n⟩+c\hat{X}|n⟩$
	$=\hat{X}n|n⟩+c\hat{X}|n⟩$
	$=(n+c)\hat{X}|n⟩$

És dir, si $|n⟩$ és un autovector de $\hat{N}$ en autovalor $n$, llavors $\hat{X}|n⟩$ també és un autovector de $\hat{N}$, pero en este cas en autovalor $n+c$. És dir $|n+c⟩=\hat{X}|n⟩$.

Si $\hat{N}$ és hermítico (per eixemple, si és l'hamiltoniano), llavors $c$ té que ser real. En este cas si $c$ és positiva es diu que $\hat{X}$ és un operador de pujada, mentres que si és negativa l'operador és de baixada. Note's que si $\hat{X}$ és de pujada, llavors la seua operador adjunt serà de baixada i viceversa, ya que obedixen la relació:

Espectre dels operadors de creació i destrucció

• Sobre l'espectre en les seccions anteriors s'ha provat que l'espectre de l'operador número és purament puntual i coincidix en $\mathbb{N}$.
• L'espectre puntual de l'operador destrucció és tot el pla complex $ℂ$ i és de tipo puntual, ya que per a qualsevol número complex $\lambda \in ℂ$ sempre existix solució $|{\xi }_{\lambda }⟩\in \mathscr{H}$ de l'equació:

• Finalment l'espectre puntual de l'operador creació és buit, mentres que el seu espectre residual inclou tot el pla complex.

Oscilador harmònic quàntic

A continuació vorem l'aplicació dels operadors escala al cas del oscilador harmònic quàntic. Aixina, diagonalizaremos el Hamiltoniano aplicant l'àlgebra dels operadors escala. Escomençarem escrivint el hamiltoniano com:

a on ${\hat{p}}_x$ és la component sobre l'eix $x$ de l'operador moment de la partícula.

Anàlisis dimensional

Començarem reescrivint el Hamiltoniano en terme de magnituts adimensionales (per a això es pot aplicar l'anàlisis dimensional). Per a això definirem les magnituts

que permeten expressar el Hamiltoniano com la suma de formes quadràtiques

Esta forma sugerix definir un operador i el seu adjunt tals que el seu producte siga proporcional al Hamiltoniano (de manera equivalent a la definició de complex i complex conjugat). Aixina, si definim l'operador de baixada $\hat{a}$ i el de pujada ${\hat{a}}^{†}$

és fàcil comprovar que la relació de conmutación posició-moment $[\hat{X},\hat{P}]=i$ es transforma en $[a,a^{†}]=\hat{a}{\hat{a}}^{†}-{\hat{a}}^{†}\hat{a}=1$ i que el Hamiltoniano es pot reescriure com

Convé fer notar que el terme $\frac{1}{2}\hslash \omega$ és una conseqüència de que $\hat{x}$ i ${\hat{p}}_x$ no commuten, és dir, del principi de indeterminació. Vorem en lo que seguix que este terme dona lloc a l'energia del punt zero o energia del estat fonamental.

Per últim, d'acort en l'expressió anterior, l'espectre de $\hat{H}$ està relacionat en l'espectre del operador número $\hat{N}={\hat{a}}^{†}\hat{a}$. En este cas podem observar que $\hat{a}$ és un operador escala de baixada, ya que

a on s'ha tingut en conte la relació de conmutación.

Valors propis en la representació d'energia

Per a obtindre els valors propis del operador número $N={\hat{a}}^{†}\hat{a}$

utilisarem les següents propietats del espectre de $\hat{N}$:

• Els valors propis $n$ són positius o nuls. En efecte, la norma del vector $\hat{a}|n⟩$ és positiva o nula, llavors

$(\hat{a}|n⟩,\hat{a}|n⟩)=⟨n|{\hat{a}}^{†}\hat{a}|n⟩=⟨n|\hat{N}|n⟩=n⟨n|n⟩=n\ge 0$

a on hem considerat que les funcions $|n⟩$ estan normalisades.

• Si $n$ és un valor propi associat al vector propi $|n⟩$, llavors $n-1$ és també un valor propi associat al vector $\hat{a}|n⟩$. Del resultat anterior s'obté que la constant de normalisació de $\hat{a}|n⟩$ és $1/\sqrt{n}$. S'obté aixina que $\hat{a}|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩$.
• D'igual manera, tenim que, ${\hat{a}}^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$.
• El autovalor $n$ deu ser un número entero. En efecte, si apliquem $m$ voltes l'operador de baixada $\hat{a}$, tindrem que

${\hat{a}}^m|n⟩=\sqrt{n(n-1)\cdots (n-m+1)}|n-m⟩$

Com $|n-m⟩$ és un autovector de $\hat{N}$ en autovalor $n-m$, si $n$ no és un sancer sempre existirà un valor de $m$ per al qual el autovalor $n-m$ serà negatiu, lo que contradiu el primer dels punts.

Aixina, els valors propis de l'operador $\hat{N}$ són els número entero $n\ge 0$. Com a conseqüència, l'espectre d'energies del Hamiltoniano de l'oscilador harmònic és

Vectores propis en la representació d'energia

L'estat fonamental

Podem utilisar els resultats anteriors per a obtindre les autofunciones de l'oscilador harmònic. Per a obtindre l'estat fonamental, podem aplicar l'operador escala de baixada. Aixina. com $\hat{a}|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩$, tenim

Proyectant sobre $⟨x|$ podem expressar dita equació en la representació de coordenades,

que es pot reescriure com una equació diferencial .

Aixina la solució a esta equació diferencial permet obtindre la funció d'ones de l'estat fonamental

a on la constant de normalisació s'obté en impondre $⟨0|0⟩$, i pren el valor $A={(m\omega /\pi \hslash )}^{1/4}$.

Estats excitats

Per a obtindre les funcions d'ona dels estats excitats de l'oscilador harmònic, podem aplicar l'operador escala de pujada a l'estat fonamental.

Referències

Bibliografia

• Richtmyer, Robert D. (1978): Principles of advanced mathematical physics, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-08873-3.