Operador (mecànica quàntica)

El operador quàntic és l'operador matemàtic que representa a una magnitut física (observable) en el formalisme de la mecànica quàntica. Matemàticament els operadors de la mecànica quàntica són aplicacions llineals definides sobre un conjunt o domini en un espai de Hilbert, i que deuen satisfer certes propietats formals com la de ser autoadjuntos.

Alguns operadors estan definits sobretot l'espai de Hilbert, estos operadors es diuen continus o acotats. No obstant, atres operadors quàntics estan definits solament sobre un domini dens en l'espai de Hilbert, pero no en tot l'espai de Hilbert. Per eixemple l'operador hamiltoniano, que representa l'energia del sistema, sol ser un operador no-acotat, la qual cosa es correspon en el fet físic de que molts sistemes no imponen un llímit superior per al valor de l'energia

Operadors posició i moment llineal

Resulten d'especial interés les correspondències entre la mecànica clàssica i la quàntica dels operadors corresponents a la posició i al moment llineal:

$\hat{x}=x;\hat{y}=y;\hat{z}=z$

${\hat{p}}_x=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x};{\hat{p}}_y=-i\hslash \frac{\partial }{\partial y};{\hat{p}}_z=-i\hslash \frac{\partial }{\partial z}$

Aixina, per eixemple, l'energia cinètica, que es desenrolla com:

$E_{cin}=\frac{1}{2}m(v_x^2+v_y^2+v_z^2)=\frac{1}{2m}(p_x^2+p_y^2+p_z^2)$

en passar els operadors a la seua versió quàntica queda d'esta forma:

$\frac{1}{2m}({\hat{p}}_x^2+{\hat{p}}_y^2+{\hat{p}}_z^2)=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2$

Conmutación d'operadors

Es diu que dos operadors commuten quan complixen:

$[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}=0$

Una teorema d'importància capital en la mecànica quàntica és el que seguix:

"Si i només si dos operadors commuten, tenen un conjunt de funcions pròpies en comuna".

Com es pot vore de forma molt senzilla a partir de les relacions de l'apartat anterior, per a una direcció espacial donada (digam la x) els operadors posició i moment llineal no commuten. Açò implica que no tenen cap funció pròpia en comuna. Aixina que, per a qualsevol funció d'ones, si és possible determinar de forma reproduible la posició, en la determinació del moment llineal hi haurà sempre una contribució estadística. Est és un cas particular del principi de indeterminación de Heisenberg.