Cuaternión dual

Placa en Broom Bridge (Dublín), que commemora l'invenció dels cuaterniones per Hamilton

En matemàtiques, els cuaterniones duals constituïxen un àlgebra isomorfa al àlgebra de Clifford d'una forma quadràtica degenerada.

En teoria d'anells, els cuaterniones duals són anells construïts de la mateixa manera que els cuaterniones, llevat perque usen números duals en lloc de número real com a coeficients. Un cuaternión dual pot representar-se en la forma p + ε q, a on p i q són cuaterniones ordinaris i ε és l'unitat dual (que satisfà que εε = 0) i commuta en cada element de l'àlgebra. A diferència dels cuaterniones, no formen un anell de divisió.

En mecànica, els cuaterniones duals s'apliquen com números per a representar transformacions rígides en tres dimensions. Un cuaternión dual és un parell ordenat de cuaterniones  = (A, B), construït a partir de huit paràmetros reals. Degut a que les transformacions rígides tenen sis graus reals de llibertat, els cuaterniones dobles inclouen dos restriccions algebraiques per a esta aplicació.

De manera similar a la forma en que les rotacions en l'espai 3D poden representar-se per cuaterniones de llongitut unitària, els moviments rígits en l'espai 3D poden representar-se per cuaterniones duals de llongitut unitària. Este fet s'usa en cinemàtica teòrica (vore McCarthy), i en aplicacions a 3D de computació gràfica, robòtica i visió artificial.

Història

William Rowan Hamilton va introduir els cuaterniones en 1843, i en 1873 W. K. Clifford va obtindre una àmplia generalisació d'estos números, als que va cridar "bicuaterniones", que són un eixemple de lo que ara es diu àlgebra de Clifford.

En 1898 Alexander McAulay va usar Ω en la propietat de que Ω² = 0 per a generar l'àlgebra dels cuaterniones duals. No obstant, la seua terminologia de "octoniones" no es va mantindre, ya que els octoniones de hui són una atra àlgebra.

En Rússia, Aleksandr Kotelnikov va desenrollar vectores duals i cuaterniones duals per al seu us en l'estudi de la mecànica.

En 1891, Eduard Study es va donar conte de que esta àlgebra associativa era ideal per a descriure el grup de moviments en l'espai tridimensional. Va desenrollar encara més l'idea en "Geometrie der Dynamen" en 1901. Bartel Leendert van der Waerden va cridar a l'estructura "Bicuaterniones de Study", una de les tres àlgebra de huit dimensions denominades bicuaterniones.

Fòrmules

Per a descriure operacions en cuaterniones duals, és útil considerar primer els cuaterniones ordinaris.

Un cuaternión és una combinació llineal dels elements bàsics 1, i, j i k. La regla del producte d'Hamilton per a i, j i k a sovint s'escriu com

$i^2=j^2=k^2=ijk=-1.$

Calculant i ( i j k ) = −j k = −i s'obté j k = i i ( i j k ) k = −i j = −k o i j = k. Ara, degut a que j ( j k ) = j i = −k, s'observa que d'aplicar este producte resulta i j = −j i, lo que vincula els cuaterniones a les propietats dels determinants.

Una forma convenient de treballar en el producte de cuaterniones és escriure un cuaternión com la suma d'un escalar i un vector, és dir, A = a₀ + A, a on a₀ és un número real i A = A₁ i + A₂ j + A₃ k és un vector tridimensional. Les operacions de producte escalar i vectorial es poden usar llavors per a definir el producte de dos cuaterniones A = a₀ + A i C = c₀ + C com

$G=AC=(a_0+𝐀)(c_0+𝐂)=(a_0{c}_0-𝐀\cdot 𝐂)+(c_0𝐀+a_0𝐂+𝐀\times 𝐂).$

Un cuaternión dual generalment es descriu com un cuaternión en números duals com a coeficients. Un número dual és un parell ordenat â = ( a, b ). Per a sumar dos números duals basta sumar els seus components entre sí; i per a multiplicar-los se seguix la regla de que â ĉ = ( a, b ) ( c, d ) = (a c, a d + b c). Els números duals a sovint s'escriuen en la forma â = a + εb, a on ε és l'unitat dual que commuta en i, j, k i té la propietat ε² = 0.

El resultat és que un cuaternión dual és un parell ordenat de cuaterniones  = ( A, B ). Dos cuaterniones duals se sumen component a component i es multipliquen per la regla,

$\hat{A}\hat{C}=(A,B)(C,D)=(AC,AD+BC).$

És convenient escriure un cuaternión dual com la suma d'un escalar dual i un vector dual, Â = â₀ + A, a on â₀ = ( a, b ) i A = ( A, B ) és el vector dual que definix un torsor. Esta notació permet escriure el producte de dos cuaterniones duals com

$\hat{G}=\hat{A}\hat{C}=({\hat{a}}_0+𝖠)({\hat{c}}_0+𝖢)=({\hat{a}}_0{\hat{c}}_0-𝖠\cdot 𝖢)+({\hat{c}}_0𝖠+{\hat{a}}_0𝖢+𝖠\times 𝖢).$

Adició

L'adició de cuaterniones duals es definix per components, de modo que donat

$\hat{A}=(A,B)=a_0+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k+b_0\epsilon +b_1\epsilon i+b_2\epsilon j+b_3\epsilon k,$

i

$\hat{C}=(C,D)=c_0+c_{1}i+c_{2}j+c_{3}k+d_0\epsilon +d_1\epsilon i+d_2\epsilon j+d_3\epsilon k,$

llavors

$\hat{A}+\hat{C}=(A+C,B+D)=(a_0+c_0)+(a_1+c_1)i+(a_2+c_2)j+(a_3+c_3)k+(b_0+d_0)\epsilon +(b_1+d_1)\epsilon i+(b_2+d_2)\epsilon j+(b_3+d_3)\epsilon k,$

Multiplicació

La multiplicació de dos cuaterniones duals es deduïx de les regles de la multiplicació per a les components dels cuaterniones i, j, k i de la multiplicació conmutativa per l'unitat dual ε. En particular, dau

$\hat{A}=(A,B)=A+\epsilon B,$

i

$\hat{C}=(C,D)=C+\epsilon D,$

llavors

$\hat{A}\hat{C}=(A+\epsilon B)(C+\epsilon D)=AC+\epsilon (AD+BC).$

Tinga's en conte que no hi ha un terme BD, perque la definició de números duals implica que ε² = 0.

Açò facilita la taula de multiplicació (tinga's en conte que l'orde de multiplicació és fila per columna):

Taula de multiplicar cuaterniones duals unitaris

×	1	i	j	k	ε	εi	εj	εk
1	1	i	j	k	ε	εi	εj	εk
i	i	−1	k	−j	εi	−ε	εk	−εj
j	j	−k	−1	i	εj	−εk	−ε	εi
k	k	j	−i	−1	εk	εj	−εi	−ε
ε	ε	εi	εj	εk	0	0	0	0
εi	εi	−ε	εk	−εj	0	0	0	0
εj	εj	−εk	−ε	εi	0	0	0	0
εk	εk	εj	−εi	−ε	0	0	0	0

Conjugat

El conjugat d'un cuaternión dual és l'extensió del conjugat d'un cuaternión, és dir

${\hat{A}}^{*}=(A^{*},B^{*})=A^{*}+\epsilon B^{*}.$

De la mateixa manera que en els cuaterniones, el conjugat del producte dels cuaterniones duals, Ĝ = ÂĈ, és el producte dels seus conjugats en orde invers.

${\hat{G}}^{*}=(\hat{A}\hat{C}{)}^{*}={\hat{C}}^{*}{\hat{A}}^{*}.$

És útil introduir les funcions Sc(∗) i Vec(∗) que seleccionen les parts escalar i vectorial d'un cuaternión, o les parts escalar dual i vector dual d'un cuaternión dual. En particular, si  = â₀ + A, llavors

$\text{Sc}(\hat{A})={\hat{a}}_0,\text{Vec}(\hat{A})=𝖠.$

Açò permet la definició del conjugat de  com

${\hat{A}}^{*}=\text{Sc}(\hat{A})-\text{Vec}(\hat{A}).$

o,

$({\hat{a}}_0+𝖠{)}^{*}={\hat{a}}_0-𝖠.$

El producte d'un cuaternión dual en els seus productes conjugats

$\hat{A}{\hat{A}}^{*}=({\hat{a}}_0+𝖠)({\hat{a}}_0-𝖠)={\hat{a}}_0^2+𝖠\cdot 𝖠.$

és un escalar dual, corresponent en la magnitut al quadrat del cuaternión dual.

Conjugat d'un número dual

Un segon tipo de conjugat d'un cuaternión dual s'obté prenent el conjugat de número dual, donat per

$\bar{\hat{A}}=(A,-B)=A-\epsilon B.$

Els conjugats de cuaternión i número dual es poden combinar en una tercera forma de conjugat donada per

$\overline{{\hat{A}}^{*}}=(A^{*},-B^{*})=A^{*}-\epsilon B^{*}.$

En el context dels cuaterniones duals, el terme "conjugat" pot usar-se per a referir-se al conjugat del cuaternión, al conjugat del número dual, o a abdós.

Norma

La norma d'un cuaternión dual Plantilla:Absf es calcula usant el conjugat per a calcular Plantilla:Absf = Plantilla:Raïl. Est és un número dual anomenat magnitut del cuaternión dual. Els cuaterniones duals en Plantilla:Absf = 1 es denominen cuaterniones duals unitaris.

Cuaterniones duals de magnitut 1 s'utilisen per a representar desplaçaments euclidianos espacials. Observe's que el requisit de que  Â^* = 1 introduïx dos restriccions algebraiques en els components de Â, és dir

$\hat{A}{\hat{A}}^{*}=(A,B)(A^{*},B^{*})=(A{A}^{*},A{B}^{*}+B{A}^{*})=(1,0).$

Invers

Si p + ε q és un cuaternión dual i p no és zero, llavors el cuaternión dual invers ve dau per

p⁻¹ (1 − ε q ' p⁻¹).

Per lo tant, els elements del subespacio { ε q : q ∈ H } no tenen inversos. Este subespacio es diu ideal en teoria d'anells. Resulta ser el maximal ideal únic de l'anell dels números duals.

l'unitat de l'anell dels números duals consta de números que no estan en el propi ideal. Els números duals formen un anell local, ya que existix un ideal màxim únic. El grup de les unitats és un grup de Lie i pot estudiar-se usant l'aplicació exponencial. Els cuaterniones duals s'han utilisat per a estudiar les transformacions en el grup euclídeo. Un element general es pot descriure com una transformació helicoidal.

Cuaterniones duals i desplaçaments espacials

Un benefici de la formulació dels cuaterniones duals relativa a la composició de dos desplaçaments espacials D_B = ([R_B], b) i D_A = ([R_A], a) és que el cuaternión dual resultant produïx directament l'eix helicoidal i l'àngul doble del desplaçament compost D_C = D_BD_A.

En general, el cuaternión dual associat en un desplaçament espacial D = ([A], d) es construïx a partir de la seua eix helicoidal S = (S, V) i l'àngul doble (φ, d) a on φ és la rotació i d la proyecció sobre este eix, que definix el desplaçament D. El cuaternión dual associat està donat per

$\hat{S}=\cos \frac{\hat{\varphi }}{2}+\sin \frac{\hat{\varphi }}{2}𝖲.$

Siga la composició del desplaçament D_B en D_A sent el desplaçament D_C = D_BD_A. L'eix del torsor i l'àngul doble de D_C s'obtenen del producte dels cuaterniones duals D_A i D_B, donats per

$\hat{A}=\cos (\hat{\alpha }/2)+\sin (\hat{\alpha }/2)𝖠\text{and}\hat{B}=\cos (\hat{\beta }/2)+\sin (\hat{\beta }/2)𝖡.$

És dir, el desplaçament compost D_C = D_BD_A té el cuaternión dual associat dau per

$\hat{C}=\cos \frac{\hat{\gamma }}{2}+\sin \frac{\hat{\gamma }}{2}𝖢=(\cos \frac{\hat{\beta }}{2}+\sin \frac{\hat{\beta }}{2}𝖡)(\cos \frac{\hat{\alpha }}{2}+\sin \frac{\hat{\alpha }}{2}𝖠).$

Desenrollant este producte, s'obté

$\cos \frac{\hat{\gamma }}{2}+\sin \frac{\hat{\gamma }}{2}𝖢=(\cos \frac{\hat{\beta }}{2}\cos \frac{\hat{\alpha }}{2}-\sin \frac{\hat{\beta }}{2}\sin \frac{\hat{\alpha }}{2}𝖡\cdot 𝖠)+(\sin \frac{\hat{\beta }}{2}\cos \frac{\hat{\alpha }}{2}𝖡+\sin \frac{\hat{\alpha }}{2}\cos \frac{\hat{\beta }}{2}𝖠+\sin \frac{\hat{\beta }}{2}\sin \frac{\hat{\alpha }}{2}𝖡\times 𝖠).$

Dividint abdós costats d'esta equació per l'identitat, resulta

$\cos \frac{\hat{\gamma }}{2}=\cos \frac{\hat{\beta }}{2}\cos \frac{\hat{\alpha }}{2}-\sin \frac{\hat{\beta }}{2}\sin \frac{\hat{\alpha }}{2}𝖡\cdot 𝖠$

per a obtindre

$\tan \frac{\hat{\gamma }}{2}𝖢=\frac{\tan \frac{\hat{\beta }}{2}𝖡+\tan \frac{\hat{\alpha }}{2}𝖠+\tan \frac{\hat{\beta }}{2}\tan \frac{\hat{\alpha }}{2}𝖡\times 𝖠}{1-\tan \frac{\hat{\beta }}{2}\tan \frac{\hat{\alpha }}{2}𝖡\cdot 𝖠}.$

Esta és la fòrmula de Rodrigues per a l'eix del moviment helicoidal d'un desplaçament compost definit en térmens dels eixos del resultat helicoidal dels dos desplaçaments. Esta fòrmula es va deduir en 1840.

Els tres eixos helicoidals A, B i C formen un triàngul espacial i els ànguls dobles en estos vèrtiços formats per les normals comunes que formen els costats d'este triàngul estan directament relacionats en els ànguls dobles dels tres desplaçaments espacials.

Vore també

• Torsor
• Moviment racional
• Cuaterniones i rotació en l'espai
• Conversió entre cuaterniones i ànguls de Euler
• Olinde Rodrigues
• Número dual complex

Bibliografia

• A.T. Yang (1963) Application of quaternion algebra and dual numbers to the analysis of spatial mechanisms, Ph.D thesis, Columbia University.
• A.T. Yang (1974) "Calculus of Screws" in Basic Questions of Design Theory, William R. Spillers, editor, Elsevier, pages 266 to 281.
• J.M. McCarthy (1990) An Introduction to Theoretical Kinematics, pp. 62–5, MIT Press ISBN 0-262-13252-4.

• L. Kavan, S. Collins, C. O'Sullivan, J. Zara (2006) Dual Quaternions for Rigid Transformation Blending, Technical report, Trinity College Dublin.
• Joe Rooney William Kingdon Clifford, Department of Design and Innovation, the Open University, London.
• Joe Rooney (2007) "William Kingdon Clifford", in Marco Ceccarelli, Distinguished figures in mechanism and machine science, Springer.
• Eduard Study (1891) "Von Bewegungen und Umlegung", Mathematische Annalen 39:520.