Operador multiplicació

En teoria d'operadors, un operador de multiplicació és un tipo d'operador T_f definit en algun espai vectorial de funcions i el valor de les quals en una funció φ ve dau per la multiplicació per una funció fixa f.

Açò és

$$T_f\phi (x)=f(x)\phi (x)$$

per a tot φ en el domini de T_f, i tot x en el domini de φ (que és el mateix que el domini de f).

Este tipo d'operador a sovint es compara en l'operador composició. Els operadors de multiplicació generalisen la noció d'operador donada per una matriu diagonal. Més precisament, un dels resultats de la teoria d'operadors és un teorema de descomposició espectral que establix que cada operador autoadjunto en un espai de Hilbert és unitariamente equivalent per a un operador de multiplicació en un espai L².

Eixemple

Consideren-se en un espai de Hilbert les funcions X= L²[−1, 3] de quadrat integrable en valores complexos en l'interval tancat [−1, 3]. En f(x)= x², es definix l'operador

$$T_f\phi (x)=x^2\phi (x)$$

per a qualsevol funció φ en X. Est serà un operador llineal acotat autoadjunto, en domini tot l'interval X= L²[−1, 3] i en norma 9. El seu espectre serà l'interval [0, 9] (el ranc de la funció x→ x² definida sobre [−1, 3]). De fet, per a qualsevol número complejo λ, l'operador T_f − λ ve dau per {|

|- ||    ||$$(T_f-\lambda )(\phi )(x)=(x^2-\lambda )\phi (x).$$ |} És invertible si i solament si λ no està en [0, 9], i llavors la seua inversa és

$$(T_f-\lambda {)}^{-1}(\phi )(x)=\frac{1}{x^2-\lambda }\phi (x),$$

que és un atre operador de multiplicació.

Açò es pot generalisar fàcilment per a caracterisar la norma i l'espectre d'un operador de multiplicació en qualsevol espai L^p.

Vore també

• Operador translació
• Operador canvie
• Operador transferir
• Descomposició d'espectre (anàlisis funcional)

Bibliografia

• Conway, J. B. (1990). A Course in Functional Analysis (vol. 96), Springer Science+Business Mija. ISBN 0-387-97245-5.