Espai vectorial ordenat

Un punt $x$ en ${ℝ}^2$ i el conjunt de tots els $y$ tals que $x\le y$ (en roig). L'orde ací és $x\le y$ si i solament si $x_1\le y_1$ i $x_2\le y_2$

En matemàtiques, un espai vectorial ordenat o espai vectorial parcialment ordenat és un espai vectorial equipat en un orde parcial que és compatible en les operacions de l'espai vectorial.

Definició

Donat un espai vectorial $X$ sobre els número real $ℝ$ i un preorden $\le$ sobre el conjunt $X,$ el parell $(X,\le )$ es diu espai vectorial preordenado i es diu que el preorden $\le$ és compatible en l'estructura de l'espai vectorial de $X$. Per un atre costat, es denomina a $\le$ un preorden vectorial en $X$ si para tots els $x,y,z\in X$ i $r\in ℝ$ en $r\ge 0$ es complixen els dos axioma següents:

1. $x\le y$ implica que $x+z\le y+z,$
2. $y\le x$ implica que $ry\le rx.$

Si $\le$ és un preorden compatible en l'estructura de l'espai vectorial de $X$, llavors $(X,\le )$ es denomina espai vectorial ordenat i $\le$ es denomina orde parcial vectorial en $X.$ Els dos axioma impliquen que les translacions i les homotecias positives són automorfismes de l'estructura d'orde, i que l'assignació $x\mapsto -x$ és un isomorfisme sobre una estructura d'orde dual. Els espais vectorials ordenats són grups ordenats sobre l'operació suma. Tinga's en conte que $x\le y$ si i solament si $-y\le -x.$

Cons positius i la seua equivalència en els ordenaments

Un subconjunt $C$ d'un espai vectorial $X$ es diu con si para tot $r>0,$ real $rC\subseteq C.$ Un con es diu puntagut si conté l'orige. Un con $C$ és convexo si i solament si $C+C\subseteq C.$ l'intersecció de qualsevol família de cons no buida (respectivament, cons convexos) és novament un con (respectivament, con convexo). Lo mateixa ocorre en l'unió d'una família de cons creixent (baixe l'inclusió de conjunts) (respectivament, cons convexos). Es diu que un con $C$ en un espai vectorial $X$ és generador si $X=C-C.$

Donat un espai vectorial preordenado $X,$ el subconjunt $X^{+}$ de tots els elements $x$ en $(X,\le )$ que satisfan $x\ge 0$ és un con convexo puntagut en vèrtiç en $0$ (és dir, conté $0$) cridat con positiu de $X$ i denotat per $\mathrm{PosCone}X.$ Els elements del con positiu es diuen positius. Si $x$ i $y$ són elements d'un espai vectorial preordenado $(X,\le ),$ llavors $x\le y$ si i solament si $y-x\in X^{+}.$ El con positiu es genera si i solament si $X$ és un conjunt dirigit baix $\le .$ Dau qualsevol con convexo puntagut $C$ en vèrtiç en $0,$ es pot definir un preorden $\le$ en $X$ que siga compatible en l'estructura de l'espai vectorial de $X$ declarant para tot $x,y\in X,$ que $x\le y$ si i solament si $y-x\in C.$ El con positiu d'este espai vectorial preordenado resultant és $C.$ Per lo tant, existix una correspondència un a un entre els cons convexos puntaguts en vèrtiç $0$ i els preórdenes de vectores en $X.$.

Si $X$ està reservat, llavors es pot formar una relació d'equivalència en $X$ definint que $x$ és equivalent a $y$ si i solament si $x\le y$ i $y\le x$; si $N$ és la classe d'equivalència que conté l'orige, llavors $N$ és un subespacio vectorial de $X$ i $X/N$ és un espai vectorial ordenat baix la relació: $A\le B$ si i solament existixen $a\in A$ i $b\in B$ tals que $a\le b.$

Un subconjunt de $C$ d'un espai vectorial $X$ es denomina con convexo si és un con convexo de vèrtiç $0$ que satisfà $C\cap (-C)=\{0\}.$ Explícitament, $C$ és un con propi si (1) $C+C\subseteq C,$ (2) $rC\subseteq C$ per a tots els $r>0,$ i (3) $C\cap (-C)=\{0\}.$ L'intersecció de qualsevol família no buida de cons propis és novament un con propi. Cada con propi $C$ en un espai vectorial real induïx un orde en l'espai vectorial definint $x\le y$ si i solament si $y-x\in C,$ i ademés, el con positiu d'este espai vectorial ordenat serà $C.$ Per lo tant, existix una correspondència un a un entre els cons convexos propis de $X$ i els órdens parcials del vector en $X.$

Per ordenament total de vectores en $X$ s'entén un orde total en $X$ que és compatible en l'estructura de l'espai vectorial de $X.$ La família d'ordenaments vectorials totals en un espai vectorial $X$ està en correspondència un a un en la família de tots els cons propis que són màxims baix l'inclusió de conjunts. Un orde vectorial total no pot ser arquimediano si la seua dimensió, quan es considera un espai vectorial sobre els número real, és major que 1.

Si $R$ i $S$ són dos ordenaments d'un espai vectorial en cons positius $P$ i $Q,$ respectivament, llavors es diu que $R$ és més fi que $S$ si $P\subseteq Q.$

Bibliografia

• Aliprantis, Charalambos D (2003). Locally solid Riesz spaces with applications to economics, Second edició, Providence, R. I.: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3408-8.
• Nicolas Bourbaki; Elements of Mathematics: Topological Vector Spaces; Plantilla:Isbn.
• Narici, Lawrence (2011). Topological Vector Spaces, Second edició, Boca Raton, FL: CRC Press. OCLC 144216834. ISBN 978-1584888666.
• Schaefer, Helmut H. (1999). Topological Vector Spaces, Second edició (vol. 8), New York, NY: Springer New York Imprint Springer. OCLC 840278135. ISBN 978-1-4612-7155-0.
• Wong (1979). Schwartz spaces, nuclear spaces, and tensor products, Springer-Verlag. OCLC 5126158. ISBN 3-540-09513-6.