Con convexo

Un con convexo (blau clar). En el seu interior, el con convexo de color roig clar consta de tots els punts αx + βi en α, β > 0, per als punts x i i representats. Les curves en la part superior dreta simbolisen que les regions tenen una extensió infinita

En àlgebra llineal, un con, a voltes cridat con llineal per a distinguir-ho d'atres tipos de cons, és un subconjunt d'un espai vectorial que és tancat baixe la multiplicació escalar positiva; és dir, C és un con si $x\in C$ implica que $sx\in C$ per a cada escalar positiu s.

Quan els escalares són número real, o pertanyen a un cos ordenat, generalment es diu con a un subconjunt d'un espai vectorial que es tanca per mig de la multiplicació per un escalar positiu. En este context, un con convexo és un con que es tanca baix suma o, de manera equivalent, un subconjunt d'un espai vectorial que es tanca baix combinació llineal en coeficients positius. D'això es deduïx que els cons convexos són conjunts convexos.

En este artícul solament es considera el cas d'escalares en un camp ordenat.

Definició

Un subconjunt C d'un espai vectorial V sobre un cos ordenat F és un con (o a voltes cridat con llineal) si per a cada x en C i para tot escalar positiu α en F, el producte αx està en C. Tinga's en conte que alguns autors definixen con en l'escalar α que comprén tots els escalares no negatius (en lloc de tots els escalares positius, que no inclouen el 0).

Un con C és un con convexo si αx + βi pertany a C, per a qualsevol escalar positiu α, β i qualsevol x , i en C. Un con C és convexo si i solament si C + C ⊆ C.

Este concepte és significatiu per a qualsevol espai vectorial que permeta el concepte d'escalar "positiu", com a espais sobre els número racional, els algebraics o (més comunament), els número real. Deu tindre's en conte també que els escalares de la definició són positius, lo que significa que l'orige no té per qué pertànyer a C. Alguns autors utilisen una definició que garantisa que l'orige pertany a C. Pels paràmetros d'escala α i β, els cons tenen una extensió infinita i no estan acotats.

Si C és un con convexo, llavors per a qualsevol escalar positiu α i qualsevol x en C, el vector $\alpha x=\frac{\alpha }{2}x+\frac{\alpha }{2}x\in C.$ Es deduïx que un con convexo C és un cas especial d'un con llineal.

De la propietat anterior es deduïx que un con convexo també es pot definir com un con llineal tancat baix combinacions convexas, o just baixe l'adició. De manera més sucinta, un conjunt C és un con convexo si i solament si αC= C i C + C= C, per a qualsevol escalar positiu α.

Eixemples

Con convexo que no és una combinació cònica d'un número finito de generadors

Con convexo generat per la combinació cònica dels tres vectores negres

Un con (l'unió de dos rajos) que no és un con convexo

• Per a un espai vectorial V, el conjunt buit, l'espai V i qualsevol subespacio vectorial de V són cons convexos.
• La combinació cònica d'un conjunt finito o infinit de vectores en ${ℝ}^n$ és un con convexo.
• Els cons tangentes d'un conjunt convexo són cons convexos.
• El conjunt

$\{x\in {ℝ}^2\mid x_2\ge 0,x_1=0\}\cup \{x\in {ℝ}^2\mid x_1\ge 0,x_2=0\}$

és un con pero no un con convexo.

• El con norma

$\{(x,r)\in {ℝ}^{d+1}\mid \Vert x\Vert \le r\}$

és un con convexo.

• L'intersecció de dos cons convexos en el mateix espai vectorial és novament un con convexo, pero la seua unió pot no ser-ho.
• La classe de cons convexos també està tancada baix aplicacions llineals arbitràries. En particular, si C és un con convexo, també ho és el seu opost $-C$ i $C\cap -C$ és el subespacio llineal més gran contingut en C.
• El conjunt de matrius semidefinidas positives.
• El conjunt de funcions contínues no negatives és un con convexo.

Vore també

• Con (desambiguación)
  • Con (geometria)
  • Con (topología)
• Lema de Farkas
• teorema bipolar
• Combinació llineal
• Espai vectorial ordenat

Bibliografia

• (1987) Topological Vector Spaces, Berlin, New York: Springer Science+Business Mija. ISBN 978-3-540-13627-9.
• Narici, Lawrence (2011). Topological Vector Spaces, Second edició, Boca Raton, FL: CRC Press. OCLC 144216834. ISBN 978-1584888666.
• Rockafellar, R. T. (1997). Convex Analysis, Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 1-4008-7317-7.
• (1999) Topological Vector Spaces, Second edició (vol. 8), New York, NY: Springer New York Imprint Springer. OCLC 840278135. ISBN 978-1-4612-7155-0.
• Trèves, François (2006). Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Mineola, N.Y.: Dover Publications. OCLC 853623322. ISBN 978-0-486-45352-1.
• Zălinescu (2002). Convex Analysis in General Vector Spaces, River Edge, NJ: World Scientific. ISBN 981-238-067-1.