Con (geometria)

Eixemple de con.

Generació d'un con sòlit per revolució.

Erro al crear miniatura:

Modele 3D d'un con

En geometria, un en recte és un sòlit de revolució generat pel gir d'un triàngul rectàngul al voltant d'un dels seus catetos. Al círcul conformat per l'atre cateto es denomina base i al punt a on confluïxen les generatrices es diu vèrtiç.

Ilustració des de la resenya de Problemata mathematica... publicada en Acta eruditorum, 1734

Elements

Directriu

És el perímetro de la base del con. Es tracta d'una curva plana: una circumferència.

Vèrtiç

És el punt fix exterior al pla de la directriu. Ordinàriament, les respectives semirrecta originades pel vèrtiç, generen dos parts de la superfície nomenades mants.

Generatriz

És la recta que passa pel vèrtiç i un punt de la directriu, l'unió d'estes rectes constituïx la superfície cònica. També, es denomina altura inclinada.

Base

Si la directriu és una circumferència, el sòlit llimitat per la respectiva superfície cònica i el círcul que clausura la circumferència es diu con circular recte, llavors el círcul respectiu es diu base del con.

Altura

Es medix d'avall cap a dalt, en un cas restringit de que un triàngul rectàngul ( com a subconjunt bidimensional) gire en torno d'un dels seus catetos, i s'engendra un con circular recte. Justament, el cateto eix es diu, tant com a segment i quant en medida altura del con.

Con (sòlit geomètric)

Usualment, es considera un círcul i un punt exterior al pla del círcul. L'unió de tots els segments d'extrem en un punt del círcul i extrem comú, el punt exterior, es diu con, considerat com un sòlit geomètric.

Obertura

És l'àngul màxim entre dos rectes generatrices de la superfície lateral del con.

Propietats

Àrea de la superfície cònica

L'àrea $A$ de la superfície de l'en recte és:

$A=A_{Base}+A_{Lateral}=\pi r^2+\pi ra$

a on r és el radi de la base i a la llongitut de la generatriz de l'en recte.

La generatriz d'un en recte és el hipotenusa del triàngul rectàngul que conforma en l'altura del con i el radi de la base;

la seua llongitut és: $a=\sqrt{h^2+r^2}$.

Desenroll pla d'un en recte

Desenroll pla del con.

El desenroll pla d'un en recte és un sector circular i un círcul.

El sector circular està delimitat per dos generatrices, sent la mida del costat curve igual a la llongitut de la circumferència de la base.

La distància a és la llongitut de la generatriz.

El valor de l'àngul sombrejat en la figura, en graus sexagesimals, és:

$\acute{\mathrm{a}}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{o}=360\frac{r}{a}$.

Volum d'un con

El volum $V$ d'un con de radi $r$ i altura $h$ és 1/3 del volum del cilindre que posseïx les mateixes dimensions:

$V=\frac{\pi \cdot r^2\cdot h}{3}$

En la proposició 10 del llibreActa Eruditorum - I geometria, 1734 – BEIC 13446956.jpg dels Elements de Euclides es demostra, en arguments geomètrics, l'afirmació anterior. També s'aplega a la mateixa usant el càlcul integral, sumant els cilindres elementals que es determinen per l'intersecció de plans paralels a la base del con i els radis del qual varien en funció de la distància a la base.

La suma dels infinits cilindres elementals d'altura $dx$ està definida per l'integral $\underset{0}{\overset{h}{\int }}A(x)dx$, a on $A=A_{Base}+A_{Lateral}=\pi r^2+\pi ra$0___ és l'àrea de la secció perpendicular a l'altura, en relació a l'altura $A=A_{Base}+A_{Lateral}=\pi r^2+\pi ra$1___, en este cas $A=A_{Base}+A_{Lateral}=\pi r^2+\pi ra$2___.

Con oblicuo

Erro al crear miniatura:

Seccions d'un en recte i un con oblicuo de base circular.

Un con oblicuo és aquell con que el seu eix de revolució no és perpendicular a la seua base.

Poden ser de dos tipos: de base circular o de base elíptica. El de base elíptica és el cos geomètric resultant de tallar un en recte per mig d'un pla oblicuo al seu eix de revolució.

La base és un círcul o una elipse, i l'altura és el segment que conté al vèrtiç, sent perpendicular al pla de la base; pero no és coincidente en l'eix del con.

Superfície i desenroll

La superfície lateral d'un con oblicuo és un triàngul curvilíneo, en dos generatrices per costats i base semielíptica.

La superfície de la base d'un con oblicuo és un círcul o una elipse.

Volum

L'equació amprada per a trobar el volum d'un con oblicuo de base circular és similar a la de l'en recte:

$A=A_{Base}+A_{Lateral}=\pi r^2+\pi ra$3___

a on $A=A_{Base}+A_{Lateral}=\pi r^2+\pi ra$4___ és el radi de la base i $A=A_{Base}+A_{Lateral}=\pi r^2+\pi ra$5___ l'altura del con oblicuo. L'equació del volum d'un con oblicuo de base elíptica és:

$A=A_{Base}+A_{Lateral}=\pi r^2+\pi ra$6___

sent $A=A_{Base}+A_{Lateral}=\pi r^2+\pi ra$7___ i $A=A_{Base}+A_{Lateral}=\pi r^2+\pi ra$8___ els semieixs de l'elipse i $A=A_{Base}+A_{Lateral}=\pi r^2+\pi ra$9___ l'altura del con oblicuo. La justificació d'estes dos fòrmules es basa en el principi de Cavalieri que el seu enunciat és el següent:

Si dos cossos tenen la mateixa altura i ademés tenen igual àrea en les seues seccions planes realisades a una mateixa altura, posseïxen llavors: igual volum

Igualment dins del càlcul infinitesimal les fòrmules anteriors pot demostrar-se sense necessitat del principi de Cavalieri.

Seccions còniques

Distintes seccions còniques.

Seccions còniques.

Plantilla:Conic sections full ani.gif En tallar en un pla a una superfície cònica, s'obté distintes figures geomètriques: les seccions còniques. Depenent de l'àngul d'inclinament i la posició relativa, poden ser: circumferències, elipses, paràboles i hipérboles.

Si el pla passa pel vèrtiç l'intersecció podrà ser: una recta, un parell de rectes creuades o un punt (el vèrtiç).

Les curves còniques són importants en l'astronomia: dos cossos massius que interactuen segons la llei universal de la gravitació, descriuen òrbites similars a seccions còniques: elipses, hipérboles o paràboles en funció de les seues distàncies, velocitats i masses.

També són molt útils en aerodinàmica i atres aplicacions industrials, ya que permeten ser reproduïdes per mijos simples en gran exactitut, conseguint volums, superfícies i curves de gran precisió.

Equació en coordenades cartesianas

Superfície cònica.

En Geometria analítica i Geometria diferencial, el con és el conjunt de punts de l'espai que verifiquen, respecte un sistema de coordenades cartesianas, una equació del tipo:

$a=\sqrt{h^2+r^2}$0___

Este conjunt també coincidix en l'image de la funció:

$a=\sqrt{h^2+r^2}$1___

que és cridada parametrisació usual del con.

Per eixemple, en el cas de que a = b (no nuls), este conjunt és obtingut a partir de rotar la recta $a=\sqrt{h^2+r^2}$2___ respecte a l'eix z, i per això és cridada parametrisació de revolució.

El con no és una superfície regular, puix posseïx una singularitat: el seu vèrtiç; llevant-ho es convertix en una superfície regular disconexa i oberta. Entre les seues característiques, podem destacar que és una superfície reglada (és dir que es pot generar pel moviment d'una recta), i és desarrollable, és dir, que es pot desplegar sobre un pla; tècnicament açò s'expressa dient que la seua curvatura gaussiana és nula (com en el pla o el cilindre).

Vore també

• Tronc
• Tronc de con
• Secció cònica
• Esferes de Dandelin
• Anex: Equacions de figures geomètriques
• Cuadricas
• Seccions còniques

Enllaços externs

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre cons.
• Con en MathWorld.
• Generalized Cone en MathWorld.
• https://web.archive.org/web/20121225230916/http://math2.org/math/algebra/es-conics.htm