Sòlit de revolució

Sòlit de revolució

Un volum en forma de bou s'obté per la rotació d'un círcul.

Archiu:Revolução de poliedros 03.webm

Sòlit de revolució (Matemateca Ime-Usp)

Un sòlit de revolució és un sòlit que pot obtindre's per mig de la rotació d'una curva plana al voltant d'una recta que està continguda en el seu mateix pla. Dita recta es denomina eix de revolució. La superfície creada per esta rotació i que tanca el sòlit es denomina superfície de revolució.

En principi, qualsevol cos en simetria axial o cilíndrica és un sòlit de revolució.

Rotacions al voltant dels eixos cartesianos

Sòlits en repòs

Sòlits giratòria, formació de la revolució de sòlits

El volum dels sòlits generats per revolució al voltant dels eixos cartesianos es poden obtindre per mig de les següents equacions quadràtiques.

Rotació paralela a l'eix de abcisas $Ox$

El volum d'un sòlit generat pel gir d'un àrea compresa entre dos funcions $f(x)$ i $g(x)$ definides en un interval $[a,b]$ al voltant d'un eix horisontal, és dir, una recta paralela a l'eix $Ox$ d'expressió $y=K$ sent $K$ constant, ve dau per la següent fòrmula genèrica:

En particular, si es gira una figura plana compresa entre $y=f(x)$, $y=0$, $x=a$ i $x=b$ al voltant de l'eix $Ox$, el volum del sòlit de revolució ve generat per la fòrmula:

Abdós expressions es deduïxen de que en fer girar un àrea formada per innumerables rectànguls de base dx i altura $f(x)$, al voltant de l'eix $Ox$, es formen discs colocats verticalment els volums sumats dels quals resulten en el volum de tot el sòlit.

Cada disc té per volum el d'un cilindre com si fora una moneda acomodada verticalment, és dir, $V=\pi r^{2}h$ a on el radi de la base del cilindre és $f(x)$, i l'altura del cilindre és $\text{d}x$, per lo que el volum del cilindre resulta ser $dV=\pi f^2(x)\text{d}x$ i la suma de tots estos volums parcials, és el volum total que resulta en l'expressió:

• Si són dos funcions $f(x)$ i $g(x)$, el volum total serà la resta del volum major $R$ menys el volum menor $r$ tal que

$V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}([R(x){]}^2-[r(x){]}^2)\text{d}x$.

• Si el gir és al voltant d'una recta paralela a l'eix $Ox$: $y=K$, llavors l'expressió resultant és (sempre que $K<x$ en para tot $x$):

$V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}([f(x)-K{]}^2-[g(x)-K{]}^2)\text{d}x$.

• Per últim, en el cas en el que $K>x$, és dir la recta $y=K$ que es trobe baix de les funcions, es deu aplicar:

$V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}([K-f(x){]}^2-[K-g(x){]}^2)\text{d}x$.

Rotació paralela a l'eix d'ordenades $Oy$

Est és un atre método que permet l'obtenció de volums generats pel gir d'un àrea compresa entre dos funcions qualssevol, $f(x)$ i $g(x)$, en un interval $[a,b]$, en $f(x)>g(x)$ en l'interval $[a,b]$. Al voltant d'un eix de revolució paralel a l'eix d'ordenades l'expressió del qual és $x=K$ sent $K$ constant positiva. La fòrmula general del volum d'estos sòlits és:

Note's que $x-k>0$, per això, esta fòrmula funciona si la recta es troba a l'esquerra de la regió $R$ compresa entre les curves $f(x)$ i $g(x)$, per a que nostra integral siga positiva.

Esta fòrmula se simplifica si girem la figura plana compresa entre $y=f(x)$, $y=0$, $x=a$ i $x=b$ al voltant de l'eix $Oy$, ya que el volum del sòlit de revolució ve generat per: