Combinació cònica

Donat un número finito de vectores $x_1,x_2,\dots ,x_n$ en un espai vectorial real, una combinació cònica, suma cònica, o suma en pesos d'estos vectores és un vector de la forma

${\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2+\cdots +{\alpha }_n{x}_n$

a on els números ${\alpha }_i$ són número real no-negatius.

El nom deriva del fet que una suma cònica de vectores definix un con (possiblement en un subespacio vectorial de menor dimensió).

Envolvente Cònica

El conjunt de totes las combinacions còniques per a un conjunt S donat es denota com la envolvente cònica de cone(S) o coni(S). Açò és,

$\mathrm{coni}(S)=\{\sum _{i=1}^k{\alpha }_i{x}_i:x_i\in S,{\alpha }_i\in {ℝ}_{\ge 0},k\in \mathbb{N}\}.$

Deixant k = 0, seguix que el vector zero (orige) pertany a tota envolvente cònica (ya que la suma es convertix en una suma buida).

La envolvente cònica d'un conjunt S és un conjunt convexo. De fet, is l'intersecció de tots els cons convexos que contenen a S i a l'orige. Convex Analysis and Minimization Algorithms by Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal, 1993, ISBN 3-540-56850-6, pp. 101, 102</ref> Si S és un conjunt compacte (en particular, quan és un conjunt no buit i finito de punts), llavors la condició "i l'orige" és innecessària.

Si descartem a l'orige, podem dividir tots els coeficients per la seua suma per a notar que una combinació cònica és una combinació convexa escalada per un factor positiu.

Archiu:Circle-conic-hull.svg

En el pla, la envolvente cònica d'un círcul que passa a través de l'orige és el semiplano superior obert definit per la llínea tangente al círcul en l'orige, més l'orige.

Per tant, "combinacions còniques" i "envolventes còniques" són de fet "combinacions còniques convexas" i "envolventes còniques convexas", respectivament. Ademés, la nota dalt sobre dividir els coeficients i descartant l'orige implica que les combinacions i envolventes còniques poden ser considerades com a combinacions convexas i envolventes convexas en l'espai proyectivo.

Mentres que la envolvente convexa d'un conjunt compacte és també un conjunt compacte, lo mateix no complix per a la envolvente cònica; davant tot, la envolvente no està acotada. No és ni tan sols necessàriament un conjunt tancat: un contraeixemple és una esfera que passa a través de l'orige, que la seua envolvente cònica és un semiespacio més l'orige. Aixina i tot, si S és un conjunt no-buit, convexo, compacte, i no conté a l'orige, llavors la envolvente cònica de S és un conjunt tancat.

Combinacions relacionades

• Combinació afí
• Combinació convexa
• Combinació llineal