Conjunt dirigit

En matemàtiques, un conjunt dirigit (o un preorden dirigit, o també conjunt filtrat) és un conjunt no buit $A$ junt en una relació binaria reflexiva i transitiva $\le$ (és dir, un conjunt preordenado), en la propietat adicional de que cada parell d'elements té una cota superior. En atres paraules, per a qualsevol $a$ i $b$ pertanyents a $A$ deu existir un $c$ en $A$ en $a\le c$ i $b\le c.$ El preorden d'un conjunt dirigit es denomina direcció.

La noció definida anteriorment a voltes es denomina conjunt dirigit cap a dalt. Un conjunt dirigit cap a avall es definix de manera anàloga, i es caracterisa perque cada parell d'elements està acotat per avall. Alguns autors (i en este artícul) suponen que un conjunt dirigit està dirigit cap a dalt, a menos que s'indique lo contrari. Atres autors criden a un conjunt dirigit si i solament si està dirigit tant cap a dalt com cap a avall.

Els conjunts dirigits són una generalisació dels conjunts totalment ordenats no buits. És dir, tots els conjunts totalment ordenats són conjunts dirigits (a diferència dels conjunts ordenats, que no necessita ser dirigit). Els semirretículos (que són conjunts parcialment ordenats) també són conjunts dirigits, pero no a l'inversa. Aixina mateix, els retículs són conjunts dirigits tant cap a dalt com cap a avall.

En topología, els conjunts dirigits s'utilisen per a definir rets, que generalisen les successions i unixen les diverses nocions de llímit utilisades en anàlisis. Els conjunts dirigits també donen lloc a llímits directes en àlgebra abstracta, i més generalment, en teoria de categories.

Definició equivalent

Ademés de la definició anterior, existix una definició equivalent. Un conjunt dirigit és un conjunt $A$ en un preorden tal que cada subconjunt finito de $A$ té un llímit superior. En esta definició, l'existència d'un llímit superior del subconjunt buit implica que $A$ no està buit.

Eixemples

El conjunt dels número natural $\mathbb{N}$ en l'orde ordinari $\le$ és un dels eixemples més importants de conjunt dirigit. Cada conjunt totalment ordenat és un conjunt dirigit, inclosos $(\mathbb{N},\le ),$ $(\mathbb{N},\ge ),$ $(ℝ,\le ),$ i $(ℝ,\ge ).$

Un eixemple (trivial) d'un conjunt parcialment ordenat que ' està dirigit és el conjunt $\{a,b\},$ en el que les úniques relacions d'orde són $a\le a$ i $b\le b.$ Un eixemple menys trivial és el dels "número real dirigits cap a $x_0$", pero en el que la regla d'ordenament solament s'aplica a parells d'elements en el mateix costat de $x_0$ (és dir, si es pren un element $a$ a l'esquerra de $x_0,$ i $b$ a la seua dreta, llavors $a$ i $b$ no són comparables, i el subconjunt $\{a,b\}$ no té llímit superior).

Producte de conjunts dirigits

Sean ${𝔻}_1$ i ${𝔻}_2$ conjunts dirigits. Llavors, el conjunt producte cartesiano ${𝔻}_1\times {𝔻}_2$ es pot convertir en un conjunt dirigit definint $(n_1,n_2)\le (m_1,m_2)$ si i solament si $n_1\le m_1$ i $n_2\le m_2.$ En analogia en l'orde de producte, esta és la direcció del producte en el producte cartesiano. Per eixemple, el conjunt $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ de parells d'número natural es pot convertir en un conjunt dirigit definint $(n_0,n_1)\le (m_0,m_1)$ si i solament si $n_0\le m_0$ i $n_1\le m_1.$

Dirigit cap a un punt

Si $x_0$ és un número real, llavors el conjunt $I:=ℝ\mathrm{\setminus }\{x_0\}$ es pot convertir en un conjunt dirigit definint $a{\le }_{I}b$ si $|a-x_0|\ge |b-x_0|$ (per lo que els elements "majors" estan més prop de $x_0$). Llavors, es diu que els número real han segut dirigits cap a $x_0.$ Est és un eixemple d'un conjunt dirigit que és parcialment ordenat ni totalment ordenat. Açò és degut a que l'antisimetría es descompon per a cada parell $a$ i $b$ equidistants de $x_0,$ a on $a$ i $b$ estan en costats oposts de $x_0.$ Explícitament, açò succeïx quan $\{a,b\}=\{x_0-r,x_0+r\}$ per a algun $r\ne 0$ real, en el cas del qual $a{\le }_{I}b$ i $b{\le }_{I}a$ inclús si $a\ne b$. Si el preorden haguera segut definit en $ℝ$ en lloc d'en $ℝ\mathrm{\setminus }\{x_0\}$, llavors encara formaria un conjunt dirigit, pero en este cas tindria un (únic) element més gran, específicament $x_0$. No obstant, encara no seria parcialment ordenat. Este eixemple es pot generalisar a un espai mètric $(X,d)$ definint en $X$ o $X\setminus \left\{x_0\right\}$ el perorden $a\le b$ si i solament si $d(a,x_0)\ge d(b,x_0).$

Elements màxims i majors

Un element $m$ d'un conjunt $(I,\le )$ preordenado és un element màxim si per cada $j\in I,$ $m\le j$ implica que $j\le m.$ És un element més gran si per cada $j\in I,$ $j\le m.$

Qualsevol conjunt preordenado en un element major és un conjunt dirigit en el mateix preorden. Per eixemple, en un conjunt parcialment ordenat $P,$ cada tancament inferior d'un element, és dir, cada subconjunt de la forma $\{a\in P:a\le x\}$ a on $x$ és un element fix de $P,$ és dirigit.

Cada element màxim d'un conjunt preordenado dirigit és un element màxim. De fet, un conjunt preordenado dirigit es caracterisa per l'igualtat dels conjunts (que poden ser buits) d'elements màxims i majors.

Inclusió de subconjunts

La relació d'inclusió de subconjunts $\subseteq ,$ junt en el seu dual $\supseteq ,$ definixen un preorden en qualsevol família de conjunts determinada. Una família de conjunts no buida és un conjunt dirigit sobre l'orde parcial $\supseteq$ (respectivament, $\subseteq$) si i solament si l'intersecció (respectivament, unió) de dos dels seus membres conté com un subconjunt (respectivament, està contingut com un subconjunt de) algun tercer membre. En símbols, una família de conjunts $I$ està dirigida sobre $\supseteq$ (respectivament, $\subseteq$) si i solament si

Per a tot $A,B\in I,$ existix algun $C\in I$ tal que $A\supseteq C$ i $B\supseteq C$ (respectivament, $A\subseteq C$ i $B\subseteq C$)

o equivalentement,

Per a tot $A,B\in I,$ existix algun $C\in I$ tal que $A\cap B\supseteq C$ (respectivament, $A\cup B\subseteq C$).

Es poden definir molts eixemples importants de conjunts dirigits utilisant estos órdens parcials.

Per eixemple, per definició, un filtre Filtre o és una família de conjunts no buida que és un conjunt dirigit sobre el conjunt parcialment ordenat $\supseteq$ i que ademés no conté el conjunt buit (esta condició evita la trivialidad, perque de lo contrari, el conjunt buit llavors seria un element més gran sobre $\supseteq$). Cada sistema Π, que és un família de conjunts no buida que està tancada baix l'intersecció de cada dos dels seus membres, és un conjunt dirigit sobre $\supseteq .$ Cada sistema λ és un conjunt dirigit sobre $\subseteq .$ Cada filtre, topología i σ-àlgebra és un conjunt dirigit sobre $\supseteq$ i $\subseteq .$

Coes de rets

Per definició, una és una funció d'un conjunt dirigit i una successió és una funció dels número natural $\mathbb{N}.$ Cada successió es convertix canónicamente en una ret en dotar a $\mathbb{N}$ de $\le .$

Si $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i\in I}$ és qualsevol ret d'un conjunt dirigit $(I,\le )$, llavors per a qualsevol índex $i\in I,$ el conjunt $x_{\ge i}:=\{x_j:j\ge i\text{with }j\in I\}$ es diu coa de $(I,\le )$ començant en $i.$ La família $\mathrm{Tails}\left(x_{\bullet }\right):=\{x_{\ge i}:i\in I\}$ de totes les coes és un conjunt dirigit sobre $\supseteq ;$, de fet, és inclús un prefiltro.

Entorns

Si $T$ és un espai topològic i $x_0$ és un punt en $T,$, el conjunt de tots els entorns de $x_0$ es pot convertir en un conjunt dirigit escrivint $U\le V$ si i solament si $U$ conté a $V.$ Per a cada $U,$ $V,$ i $W$Plantilla:Hairsp:

• $U\le U$, ya que $U$ es conté a sí mateixa.
• Si $U\le V$ i $V\le W,$ llavors $U\supseteq V$ i $V\supseteq W,$ lo que implica que $U\supseteq W.$ Per lo tant $U\le W.$

Perque $x_0\in U\cap V,$ i ya que tant $U\supseteq U\cap V$ com $V\supseteq U\cap V,$ es té que $U\le U\cap V$ i $V\le U\cap V.$

Subconjunts finitos

El conjunt $\mathrm{Finito}(I)$ de tots els subconjunts finitos d'un conjunt $I$ està dirigit sobre $\subseteq$ ya que daus dos $A,B\in \mathrm{Finito}(I),$ qualssevol, la seua unió $A\cup B\in \mathrm{Finito}(I)$ és un llímit superior de $A$ i $B$ en $\mathrm{Finito}(I).$ Este conjunt dirigit en particular s'utilisa per a definir la suma $\sum _{i\in I}{r}_i$ d'una série generalisada d'una colecció de números $I$ indexada per ${\left(r_i\right)}_{i\in I}$ (o més generalment, la suma d'elements en un grup topològic abeliano, com vectores en un espai vectorial topològic) com llímit de la ret de séries $F\in \mathrm{Finito}(I)\mapsto \sum _{i\in F}{r}_i;$, és dir:

$\sum _{i\in I}{r}_i:=\underset{F\in \mathrm{Finito}(I)}{\lim }\sum _{i\in F}{r}_i=\lim \{\sum _{i\in F}{r}_i:F\subseteq I,F\text{ finito }\}.$

Llògica

Vore també: Conjunt preordenado

Siga $S$ una teoria formal, que és un conjunt de sentències en certes propietats (els detalls de les quals es poden trobar en l'artícul teoria (llògica)). Per eixemple, $S$ podria ser una teoria de primer orde (com els axioma de Zermelo-Fraenkel) o una teoria d'orde zero més simple. El conjunt preordenado $(S,\Leftarrow )$ és un conjunt dirigit, perque si $A,B\in S$ i si $C:=A\wedge B$ denota l'oració formada per la conjunció llògica $\wedge ,$ llavors $A\Leftarrow C$ i $B\Leftarrow C$, a on $C\in S.$ Si $S/\sim$ és l'àlgebra de Lindenbaum-Tarski associada en $S$, llavors $(S/\sim ,\Leftarrow )$ és un conjunt parcialment ordenat que també és un conjunt dirigit.

Vore també

• Conjunt centrat
• Categoria filtrada
• Filtres en topología
• Conjunt vinculat
• Ret (matemàtica)

Bibliografia

• J. L. Kelley (1955), General Topology.
• Gierz, Hofmann, Keimel, et al. (2003), Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press. ISBN 0-521-80338-1.