Semirretículo

En matemàtica, un semirretículo superior és un conjunt parcialment ordenat en el que existix un suprem para tot subconjunt no buit finito. Dualmente, un semirretículo inferior és un conjunt parcialment ordenat en el que existix un ínfim para tot subconjunt no buit finito. Tot semirretículo superior és un semirretículo inferior en l'orde invers i viceversa.

Els semirretículos també poden definir-se algebraicamente: el suprem i l'ínfim són operacions binarias associatives, conmutativas, idempotents i qualsevol operació d'estes característiques induïx un orde parcial (aixina com el corresponent orde invers) de modo que el resultat de l'operació per a dos elements qualssevol és el suprem (o ínfim, en el seu cas) dels elements sobre eixe orde parcial.

Un retícul és un conjunt parcialment ordenat que és tant semirretículo superior com semirretículo inferior sobre un mateix orde parcial. Algebraicament, un retícul és un conjunt en dos operacions binarias associatives, conmutativas i idempotents, enllaçades per les corresponents lleis d'absorció.

Definició en térmens de la teoria de l'orde

Un conjunt S parcialment ordenat per la relació binaria ≤ és un semirretículo inferior si

Per a tots els elements x i i en S, existix l'ínfim del conjunt Plantilla:Nowrap begin{x, i}Plantilla:Nowrap end.

L'ínfim del conjunt Plantilla:Nowrap begin{x, i}Plantilla:Nowrap end es denomina ínfim de x i i, denotant-se x ∧ i.

En reemplaçar "ínfim" per "suprem" s'obté el concepte dual de semirretículo superior. El suprem de {x, i} es denomina suprem de x i i, denotant-se x ∨ i. Ínfim i suprem són operacions binarias en S. Un simple argument d'inducció mostra que l'existència de tots els suprems (ínfims) per parells, per definició, implica l'existència de tots els suprems (ínfims) de conjunts no buits finitos.

Un semirretículo superior és acotat si té un element menor, el suprem del conjunt buit. Dualmente, un semirretículo inferior es diu acotat si té un element major, l'ínfim del conjunt buit.

És possible supondre atres propietats; vore l'artícul sobre completitud en la teoria de l'orde para més detalls. En eixe artícul també s'analisa com podem reformular la definició donada ací en térmens de l'existència de conexions de Galois apropiades entre conjunts parcialment ordenats — un enfocament d'interés especial per a investigacions del concepte en térmens de la teoria de categories.

Definició algebraica

Un "semirretículo inferior" és una estructura algebraica ⟨S, ∧⟩ consistent en un conjunt S en una operació binaria ∧, cridada ínfim, tal que para tots els membres x, i i z de S es complixen les següents identitats:

Asociatividad

x ∧ (i ∧ z) = (x ∧ i) ∧ z

Conmutatividad

x ∧ i = i ∧ x

Idempotencia

x ∧ x = x

Un semirretículo inferior ⟨S, ∧⟩ es diu acotat si en S existix un element neutre 1 tal que Plantilla:Nowrap beginx ∧ 1 = xPlantilla:Nowrap end para tot x en S.

Si el símbol ∧ es reemplaça pel símbol ∨ en la definició anterior per a designar una operació binaria cridada suprem, l'estructura es denomina semirretículo superior. És possible ser ambivalent sobre el símbol a usar, parlant simplement de semirretículos.

Un semirretículo és un semigrupo idempotent i conmutativo. Alternativament, un semirretículo és una banda conmutativa. Un semirretículo acotat és un monoide idempotent i conmutativo.

Un semirretículo inferior induïx un orde parcial declarant x≤i cada volta que x∧i=x. En el cas d'un semirretículo superior, l'orde s'induïx declarant x≤i cada volta que x∨i=i. En un semirretículo inferior acotat, l'element neutre 1 és un element major de S. Similarment, un element neutre d'un retícul superior és un element menor.

Vore també

• Semianillo

Referències

Llamentablement, en freqüència es dona el cas que en els tractats estàndar de la teoria de retículs es definixca un semirretículo, quan més, i despuix no es torne a mencionar. Vegen-se les referències en els artículs sobre teoria de l'orde i teoria de retículs. Més encara, no existix bibliografia sobre semirretículos de magnitut comparable a la que existix sobre semigrupos.