Conexió de Galois

En matemàtica, especialment en la teoria de l'orde, una conexió de Galois és una correspondència particular entre dos conjunts parcialment ordenats (en anglés, «posets»). Les conexions de Galois generalisen la correspondència entre subgrups i subcuerpos investigada en la teoria de Galois. Tenen aplicació en vàries teories matemàtiques.

Una conexió de Galois és prou més dèbil que un isomorfisme entre els posets implicats, pero cada conexió de Galois dona lloc a un isomorfisme de certs sub-posets.

De la mateixa manera que la teoria de Galois, les conexions deuen el seu nom al matemàtic francés Évariste Galois.

Definició

Suponguen-se dos conjunts parcialment ordenats (A, ≤) i (B, <=). Una conexió de Galois entre estos posets consistix en dos funcions monòtones: F : A → B i G : B → A, tals que para tot a en A i b en B, tenim

$F(a)\le b\iff a\le G(b)$

En esta situació es diu a F adjunt inferior de G i a G, adjunt superior de F. Esta terminologia relaciona les conexions a la teoria de categories que es comenta després. Tal com es detallarà, cada part d'una conexió de Galois determina unívocamente l'atra correspondència. Al vore dos funcions que formen una conexió de Galois com dos especificacions del mateix objecte, és convenient senyalar un parell d'adjunts inferior i superior corresponents com a f^∗ i f_∗, respectivament. Observe que l'asterisc es posa sobre el símbol de la funció per a senyalar l'adjunt inferior.

Definició alternativa

La definició anterior és comuna a moltes aplicacions actualment, i prominent en les teories de retículs i de dominis. No obstant, originalment es va derivar una noció llaugerament diferent en la teoria de Galois. En esta definició alternativa, una conexió de Galois és un parell de funcions antítonas (que invertixen l'orde), F : A → B i G : B → A entre els posets A i B, de manera que

$b\le F(a)\iff a\le G(b)$

Abdós nocions d'una conexió de Galois seguixen presents en la lliteratura. En lo que seguix, el terme conexió (monòtona) de Galois es referirà sempre a una conexió de Galois en el primer sentit. Si s'aplica la definició alternativa, s'usaran els térmens conexió de Galois antítona o conexió de Galois inversora.

En realitat, les implicacions d'abdós definicions són prou similars, ya que les conexions antítonas de Galois entre A i B són simplement conexions monòtones de Galois entre A i l'orde dual B^op de B. Totes les afirmacions següents sobre les conexions de Galois es poden convertir fàcilment, per tant, en afirmacions sobre les conexions antítonas.

Observe no obstant, que no té sentit parlar d'adjunts inferior i superior d'una conexió antítona de Galois: la situació és completament simètrica.

Eixemples

• L'eixemple motivador ve de la teoria de Galois: suponga's una extensió de cos L/K. Siga A el conjunt de tots els subcuerpos de L que contenen K, ordenats per inclusió $\subseteq$. Si I és un de tals subcuerpos, s'escriu Gal(L/I) per al grup d'automorfismes de cossos de L que mantenen fix I. Siga B el conjunt de subgrups de Gal(L/K), ordenadors per inclusió $\subseteq$. Per a tal subgrup G, es definix Fix(G) com el cos que consistix en tots els elements de L que es mantenen fixos per tots els elements de G. Llavors les funcions I $\mapsto$ Gal(L/I) i G $\mapsto$ Fix(G) formen una conexió antítona de Galois.

• Per a vore un eixemple de teoria d'orde, siga O un conjunt, i siguen A i B els conjunts potència de O, ordenats per inclusió. Prenga's un subconjunt fix L de O. Llavors les funciones F i G, a on F(M) és l'intersecció de L i M, i G(N) és l'unió de N i (O L), formen una conexió monòtona de Galois, sent F l'adjunt inferior. Es pot trobar en qualsevol àlgebra de Heyting una conexió de Galois similar que el seu adjunt inferior ve dau per l'operació ínfim. En particular, està present en tota àlgebra booleana, a on es poden descriure dos funcions com a F(x) = (a $\wedge$ x) i G(i) = (i $\vee$ $\mathrm{\neg }$ a) = (a $\Rightarrow$ i). En térmens llògics: "implicació" és l'adjunt superior de "conjunció".

• En l'artícul sobre propietats de completitud hi ha més eixemples interessants de conexions de Galois. Resulta que les familiars funcions $\vee$ i $\wedge$ són adjunts en dos conexions de Galois possibles. Succeïx lo mateix en les funcions del conjunt d'un element que senyala els elements ínfim i suprem d'un orde parcial. Anant més allà, inclús es pot caracterisar els retículs complets per mig de l'existència d'adjunts adequats. Estes consideracions donen una impressió de l'ubiqüitat de les conexions de Galois en la teoria de l'orde.

• En geometria algebraica, la relació entre conjunts de polinomis i els seus conjunts de zeros és una conexió antítona de Galois: fixe un número natural n i un cos K i siga A el conjunt de tots els subconjunts del anell polinòmic K[X₁,...,X_n] ordenat per inclusió $\subseteq$, i siga B el conjunt de tots els subconjunts de Kⁿ ordenats per inclusió $\subseteq$. Si S és un conjunt de polinomis, definim F(S) = {x$\in$Kⁿ: f(x) = 0, $\mathrm{\forall }$f$\in$S}, com el conjunt de zeros comuns dels polinomis de S. Si T és un subconjunt de Kⁿ, definim G(T) = {f$\in$K[X₁,...,X_n]: f(x) = 0, $\mathrm{\forall }$x$\in$T}. Llavors F i G formen una conexió antítona de Galois.

• Si f: X → I és una funció, llavors per a qualsevol subconjunt M de X podem formar l'image F(M) = f(M) = {f(m): m$\in$M} i per a qualsevol subconjunt N de I podem formar l'image inversa G(N) = f ^-1(N) = {x$\in$X: f(x)$\in$N}. Llavors F i G formen una conexió monòtona de Galois entre els conjunts potencia X i I, ordenats abdós per inclusió $\subseteq$. Hi ha un atre parell d'adjunts més en esta situació: per a un subconjunt M de X, definim H(M) = {i$\in$I: f ^-1({i}) $\subseteq$ M}. Llavors G i H formen una conexió monòtona de Galois entre els conjunts potencia I i X. En la primera conexió de Galois, G és l'adjunt superior, mentres que en la segona servix com a adjunt inferior.

• Prenga un objecte matemàtic X que posseïxca un conjunt subjacent, per eixemple un grup, anell, espai vectorial, etc. Per a qualsevol subconjunt S de X, siga F(S) el subobjeto de X més chicotet que continga S, és dir, el subgrup, subanillo o subespacio generat per S. Per a qualsevol subobjeto O de X, siga G(O) el subconjunt subjacent a O (inclús podem prendre un espai topològic com a X, siga F(S) la clausura de S, i prenguen-se els subconjunts tancats de X com "subobjetos de X"). Ara, F i G formen una conexió monòtona de Galois si els conjunts i subobjetos estan ordenats per inclusió. F és l'adjunt inferior.

• Un comentari molt general de Martin Hyland és que sintaxis i semàntica són adjuntes: prenga's A, el conjunt de totes les teories llògiques (axiomatizaciones), i B el conjunt potencia del conjunt de totes les estructures matemàtiques. Per a una teoria T$\in$A, siga F(T) el conjunt de totes les estructures que satisfan els axioma T; per a un conjunt d'estructures matemàtiques S, siga G(S) la axiomatisació mínima de S. Podem dir llavors que F(T) és un subconjunt de S si i solament si T implica llògicament G(S): el "funtor semàntic" F i el "funtor de sintaxis" G formen una conexió monòtona de Galois, sent la semàntica l'adjunt inferior.

• Finalment, suponguen-se X i I dos conjunts arbitraris i una relació binaria R donada sobre X i I. Per a qualsevol subconjunt M de X, definim F(M) = { i$\in$I: mRy $\mathrm{\forall }$m$\in$M}. De forma similar, per a qualsevol subconjunt N de I, definim G(N) = { x$\in$X: xRn $\mathrm{\forall }$n$\in$N}. Llavors F i G constituïxen una conexió antítona de Galois entre els conjunts potencia de X i I, ordenats abdós per inclusió $\subseteq$.