Àlgebra de Heyting

Un àlgebra de Heyting que no és booleana

En matemàtiques, les àlgebra de Heyting, creades per Arend Heyting, són conjunts parcialment ordenats especials que generalisen àlgebra de Boole. Les àlgebra de Heyting es presenten com a models de la llògica intuicionista, una llògica en la qual la llei del tercer exclós no és vàlit. Les àlgebra completes de Heyting són un objecte central d'estudi en topología sense punts.

Definicions formals

Un àlgebra de Heyting H és un reticulado acotat tal que per a tot a i b en H hi ha un major element x de H tal que a ^ x ≤ b. Este element es diu el seudo-complement relatiu de a sobre b, i és denotat a=>b (o a⇒b).

Una definició equivalent pot donar-se considerant les funciones f_a: H → H definides per f_a(x) = a^x, per a algun a (fix) en H. Un reticulado acotat H és un àlgebra de Heyting si i només si totes les funciones f_a són l'adjunt inferior d'una conexió de Galois monòtona. En este cas els adjunts superiors respectius g_a són donats per g_a(x) = a=>x, a on => es definix com dalt.

Un àlgebra completa de Heyting és un àlgebra de Heyting que és un retícul complet.

En qualsevol àlgebra de Heyting, un pot definir el seudo-complemente ¬x d'un cert element x fent ¬x = x=>0, a on 0 és el menor element de l'àlgebra de Heyting.

Un element x d'un àlgebra de Heyting es diu regular si x = ¬¬x.

Propietats

Les àlgebra de Heyting són sempre distributivas. Açò s'establix a voltes com a axioma, pero de fet se seguix de l'existència de seudo-complements relatius. La raó és que com ^ és l'adjunt inferior d'una conexió de Galois, preserva tots els suprems existents. La distributividad és precisament la preservació dels suprems binarios per ^.

Ademés, per un argument similar, la llei distributiva infinita següent se sosté en qualsevol àlgebra completa de Heyting:

x ^ VI = V{x ^ i : i en I},

per a qualsevol element x en H i qualsevol subconjunt I de H.

No tota àlgebra de Heyting satisfà les dos lleis de De Morgan. No obstant, les proposicions següents són equivalents per a totes les àlgebra de Heyting H:

1. H satisfà abdós lleis de De Morgan.
2. ¬(x ^ i) = ¬x v ¬i, per a tot x, i en H.
3. ¬x v ¬¬x = 1 per a tot x en H.
4. ¬¬(x v i) = ¬¬x v ¬¬i per a tot x, i en H.

El seudocomplemento d'un element x de H és el suprem del conjunt {i : i ^ x=0} i pertany a este conjunt (és dir x ^ ¬x=0). Les àlgebra booleanas són exactament les àlgebra de Heyting en les quals x = ¬¬x per a tot x, o, equivalentemente, en el qual x v ¬x = 1 per a tot x. En este cas, l'element a = > b és igual a el ¬a v b.

En qualsevol àlgebra de Heyting, el menor i el major element 0 i 1 són regulars. Ademés, els elements regulars de qualsevol àlgebra de Heyting constituïxen un àlgebra booleana.

Eixemples

• cada conjunt totalment ordenat que és un reticulado acotat és també un àlgebra completa de Heyting, a on ¬0 = 1 i ¬a = 0 per a tot a en excepció de 0.

• Cada topología proporciona un àlgebra completa de Heyting en forma de la seua reticulado d'oberts. En este cas, l'element A => B és l'interior de l'unió de A^c i B, a on A^c denota el complement del conjunt obert A. No totes les àlgebra completes de Heyting són d'esta forma. Estos temes s'estudien en topología sense punts, a on les àlgebra completes de Heyting també es diuen marcs o locals.

• l'àlgebra de Lindenbaum de la llògica intuicionista proposicional és un àlgebra de Heyting. Es definix com el conjunt de totes els fòrmules de la llògica proposicional, ordenat via el condicional llògic: per a qualssevol dos fòrmules F i G tenim F≤G si i només si F |= G. En esta etapa ≤ és simplement un preorden que induïx un orde parcial que és l'àlgebra desijada de Heyting.

Referències

• F. Borceux,Handbook of Categorical Algebra 3, In Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 53, Cambridge University Press, 1994.

• G. Gierz, K.H. Hoffmann, K. Keinel, J. D. Lawson, M. Mislove and D. S. Scott, Continuous Lattices and Domains, In Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 93, Cambridge University Press, 2003.