Volant d'inèrcia

Archiu:Flywheel from old factory.jpg

Volant d'inèrcia

Archiu:Cshaft.gif

Esquema de funcionament d'un cigonyal (peça roja), pistones (grises) en els seus cilindres (blaus), i volant (negre).

Archiu:Caps block 0 front2.jpg

Mòdul Volant d'Inèrcia G2, NASA.

Archiu:Spoked flywheel animation.gif

Moviment del volant d'inèrcia.

Archiu:Schwungrad02.jpg

Volant d'inèrcia en una antiga forja en Witten (Alemània).

Archiu:Caps block 3 .jpg

Volant d'inèrcia usat en diversos automòvils de turisme de fabricació europea.

En mecànica, un volant d'inèrcia o volant motor és un element totalment passiu que únicament aporta al sistema una inèrcia adicional de modo que li permet almagasenar energia cinètica. Este volant continua el seu moviment per inèrcia quan cessa el parell motor que lo propulsa. D'esta forma, el volant d'inèrcia s'opon a les acceleració brusques en un moviment rotatiu. Aixina es conseguixen reduir les fluctuacions de velocitat angular. És dir, s'utilisa el volant per a suavisar el fluix d'energia entre una font de potència i la seua càrrega.

En els automòvils el seu comés és regular el gir del cigonyal. Es troba en l'extrem del cigonyal més pròxim a la caixa de canvis, unit al embrague. I s'encarrega de transmetre el moviment del motor a la caixa de canvis i posteriorment a les rodes.

En l'actualitat numeroses llínees d'investigació estan obertes a la busca de noves aplicacions dels volants. Alguns eixemples de dits usos són:

• Absorbir l'energia de frenat d'un vehícul, de modo que es reutilise posteriorment en la seua acceleració (KERS).
• Com a dispositius per a suavisar el funcionament d'instalacions generadores d'energia elèctrica per mig d'energia eòlica, aixina com de diverses aplicacions elèctriques industrials.
• En els ferrocarrils elèctrics que usen des de fa molt temps un sistema de fre regeneratiu que alimenta l'energia extreta del frenat novament a les llínees de potència; en els nous materials i dissenys es conseguixen majors rendiments en tals fins.

Comportament físic

Archiu:Flywheel-battery (Model) caps block 7

Estructura esquema de l'almagasenament d'energia del volant:1. recipient 2. volant (rotor) 3. generador / motor 4. rodament 5. inversor de la bomba de buit 6. 7. 8. càrrega i descàrrega.

Introducció

A modo de breu introducció, vejam quin aspecte presenta la fòrmula de l'energia almagasenada en un rotor com energia cinètica, o, més concretament, com a energia rotacional:

$E_k=\frac{1}{2}I{\omega }^2$

Símbol	Nom
$E_k$	Energia cinètica
$I$	Moment d'inèrcia de la massa sobre l'eix de rotació
$w$	Velocitat angular

Vejam ara uns pocs eixemples de moments d'inèrcia que nos poden ser d'utilitat a l'hora de realisar senzills càlculs per a sistemes simplificats:

Símbol	Nom
$L$	Llongitut
$m$	Massa
$r$	Ràdio

Moment d'inèrcia	-	$I_z=\left(\frac{1}{2}\right)m{r}^2$	Cilindre sòlit
$I=m{r}^2$	Cilindre de paret prima
$I=\left(\frac{1}{2}\right)m[(r_1{)}^2+(r_2{)}^2]$	Cilindre de paret no-prima
$I=\left(\frac{1}{4}\right)m{r}^2+\left(\frac{1}{12}\right)m{L}^2$	Cilindre en eix de rotació perpendicular a la generatriz passant pel centre de la llongitut

Volant d'inèrcia simplificat

Estudiem ara el comportament físic d'un volant d'inèrcia des d'un punt de vista simplificat:

Esquema simplificat d'un volant d'inèrcia.

Esquema simplificat d'un volant d'inèrcia.

Símbol	Nom
$\theta$	Coordenada de posició del volant
${\dot{\theta }}_i$	Velocitat angular d'entrada corresponent a una coordenada ${\theta }_i$
${\dot{\theta }}_0$	Velocitat angular d'eixida corresponent a una coordenada ${\theta }_0$
$I$	Moment d'inèrcia del volant
$T_i$	Moment de torsió d'entrada corresponent a una coordenada ${\theta }_i$
$T_0$	Moment de torsió d'eixida corresponent a una coordenada ${\theta }_0$

Prenent arbitrariamente $T_i$ com a positiu i $T_0$ com a negatiu, obtindrem la següent equació per al moviment del volant:

$M=T_i({\theta }_i,{\dot{\theta }}_i)-T_0({\theta }_0,{\dot{\theta }}_0)-I\ddot{\theta }=0$

o lo que és lo mateix,

$I\cdot \alpha =T_i({\theta }_i,{\omega }_i)-T_0({\theta }_0,{\omega }_0)$

És dir, una equació diferencial de segon orde que podem resoldre aplicant les tècniques apropiades (tant per a equacions diferencials llineals com no llineals) una volta conegudes les funcions de variació dels moments de torsió d'entrada i eixida. En general, $T_i$ i $T_0$ poden dependre tant dels valors de ${\theta }_i$ i ${\theta }_0$ com dels valors de ${\omega }_i$ i ${\omega }_0$. No obstant, normalment el moment de torsió depén únicament d'un dels dos paràmetros, sent freqüentment $\omega$ el decisiu. De fet, els fabricants de motors elèctrics, per eixemple, fan públiques per a cada u dels seus diferents models de motor, una série de gràfiques en les quals s'arrepleguen les característiques del parell motor i de la velocitat.

En un anàlisis menys exhaustiu del sistema format pel volant, podríem supondre que l'eix és rígit a torsió i en conseqüència prendre:

${\theta }_i={\theta }_0=\theta$

per tant l'equació anterior quedaria simplificada del següent modo:

$I\cdot \alpha =T_i(\theta ,\omega )-T_0(\theta ,\omega )$

No obstant, en la pràctica no resulta de gran interés conéixer els valors instantàneus de les variables cinemàtiques, sino que l'atenció se centra fonamentalment en conéixer el comportament global del volant d'inèrcia. És dir, ¿quin seria un moment d'inèrcia apropiat? ¿quins són les característiques del funcionament resultant del sistema?

Tractarem ara d'abordar dites qüestions d'una situació hipotètica que nos ajude a profundisar en el tema, per a això centrem primerament la nostra atenció en el següent diagrama:

Anem a descriure pas per pas l'interpretació que es deu realisar del diagrama anterior:

• A l'entrada, una font de potència somet al volant a un moment de torsió (en este cas constant) $T_i$ mentres l'eix gira de ${\theta }_1$ a ${\theta }_2$.
• En haver pres arbitrariamente $T_i$ com un moment torsor positiu ho representem ascendentemente en l'eix d'ordenades del diagrama.
• De l'equació estudiada dalt per al moviment del volant deduïm que $\alpha$ serà una acceleració positiva i conseqüentment la velocitat de l'eix aumentara de ${\omega }_1$ a ${\omega }_2$.
• A continuació, l'eix es desplaçarà de ${\theta }_2$ a ${\theta }_3$ en T=0 de modo que novament en concordancia en l'equació vista $\alpha$ serà nula. Per tant ${\omega }_2={\omega }_3$.
• Per últim de ${\theta }_3$ fins a ${\theta }_4$, s'aplica un moment de torsió d'eixida (també constant en este cas) que farà que es perga velocitat en l'eix passant-se de ${\omega }_3$ a ${\omega }_4$. En haver pres arbitrariamente $T_0$ com un moment torsor negatiu ho representem descendentemente en l'eix d'ordenades del diagrama.

Per al cas hipotètic estudiat, l'energia transmesa al volant (treball entrante) és cuantitativamente equivalent a l'àrea del rectàngul delimitat per ${\theta }_1$ i ${\theta }_2$ és dir:

$U_i=T_i({\theta }_2-{\theta }_1)$

L'energia extreta del volant (treball eixint) és cuantitativamente equivalent a l'àrea del rectàngul delimitat per ${\theta }_3$ i ${\theta }_4$, o siga:

$U_0=T_0({\theta }_4-{\theta }_3)$

Si suponem el sistema estudiat com un de propietats ideals en el qual no existixca fricció, lligga's que no es produïxen pèrdues associades a dit fenomen, podem llavors detallar les tres situacions possibles que poden donar-se:

	per tant	Observació
$U_0>U_i$	${\omega }_4<{\omega }_1$
$U_0=U_i$	${\omega }_4={\omega }_1$	Cas de cicles periòdics
$U_0<U_i$	${\omega }_4>{\omega }_1$

Si estudiem el cas hipotètic baix el prisma de les energies cinètiques plantejant un balanç per a les mateixes, obtenim un anàlisis igualment vàlit en el qual podem apreciar:

Para	Velocitat	Energia cinètica
$\theta ={\theta }_1$	$\omega ={\omega }_1$	$U_1=\left(\frac{1}{2}\right)I({\omega }_1{)}^2$
$\theta ={\theta }_2$	$\omega ={\omega }_2$	$U_2=\left(\frac{1}{2}\right)I({\omega }_2{)}^2$
		$U_2-U_1=\left(\frac{1}{2}\right)I[({\omega }_2{)}^2-({\omega }_1{)}^2]$

És necessari ara que s'ha explicat este eixemple senzill posar de manifest que la majoria de les funcions de "moment de torsió (parell motor) - desplaçament" que nos trobem en la vida real i per tant en les aplicacions ingenieriles, són d'una dificultat extrema i per tant deuen ser integrades per métodos numèrics aproximats. Un eixemple d'això podria ser la següent gràfica:

Observe's que frut de l'integral aproximada de dita curva per a un cicle complet obtenim com resultat un moment de torsió mig $T_m$ disponible per a impulsar una càrrega. Existixen diversos algoritmes d'integració que podem utilisar per a calcular dites aproximacions, entre les més típiques es troba la regla de Simpson que destaca per la seua senzillea (implementada en moltes calculadores programables) i la regla trapezoidal.

Per al càlcul de volants d'inèrcia se solen utilisar dos paràmetros auxiliars de gran rellevància, la velocitat angular nominal $\omega$ i el coeficient de fluctuació de la velocitat $C_s$ que es definixen:

$\omega =\frac{{\omega }_2+{\omega }_1}{2}$

$C_s=\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{\omega }$

En definir este últim paràmetro dividim entre $\omega$ per a obtindre una relació adimensional que depén més de les propietats del sistema que de la velocitat mateixa.

En estos nous paràmetros podríem reescriure el balanç que realisem per a l'energia cinètica ya que

$C_s\cdot \omega ={\omega }_2-{\omega }_1$

i

$2\cdot \omega ={\omega }_2+{\omega }_1$

es té que resulta:

$U_2-U_1=C_s\cdot I\cdot {\omega }^2$

Equació que s'usa generalment per a determinar com deu ser l'inèrcia apropiada per al volant. Açò es deu a que tant l'energia que nos farà falta com les revolucions a les quals girarà el rotor són senyes conegudes i per tant lo que devem determinar és el compromís entre el coeficient de fluctuació de velocitat i l'inèrcia de modo que no se sofrixquen grans fluctuacoones ni pel contrari siga molt costós aplegar al règim de treball (lo que impondria una gran inèrcia). En la pràctica s'impon un valor llímit a $C_s$ i d'ahí es deduïx I.

Nous materials

Archiu:Volin.jpg

Volant d'inèrcia d'acer usat en un parc eòlic en l'actualitat.

La cantitat d'energia que pot ser almagasenada de manera segura en el rotor dependrà del punt en el qual el rotor comença a combarse o badar-se. La tensió circunferencial en el rotor és un aspecte fonamental en el disseny de sistemes d'almagasenage d'energia per mig de volants d'inèrcia.

${\sigma }_t=\rho r^2{\omega }^2$

Símbol	Nom
$\omega$	Velocitat angular del cilindre
$\rho$	Densitat del cilindre
${\sigma }_t$	Esforç o solicitación a tracció en la corona del cilindre
$r$	Radi del cilindre

Per a un disseny de volant d'inèrcia donat, es pot deduir de les equacions expostes dalt que la energia cinètica és proporcional al cocient entre la tensió circunferencial i la densitat del material:

$E_k\propto \frac{{\sigma }_t}{\rho }$

Este paràmetro pot ser cridat resistència específica a la tracció o tenacitat específica. Aquell material que posseïxca la major tenacitat específica donarà lloc al volant d'inèrcia capaç d'acumular major energia. Esta és una de les numeroses raons per les quals la fibra de carbono és un material de tant interés en l'actualitat.