Varietat de Kähler

En matemàtiques, una varietat de Kähler és una varietat en estructura unitària a ($U(n)$-estructura) que satisfà una condició d'integració. En particular, és una varietat complexa, una varietat de Riemann, i una varietat simpléctica, en estes tres estructures compatibles entre sí.

Esta estructura triple correspon a la presentació del grup unitari com una intersecció:

Sense cap condició d'integració, la noció anàloga és una varietat hermítica parcial. Si l'estructura-Sp és integrable (sense que l'estructura complexa lo siga), la noció és una varietat de Kähler parcial; si l'estructura complexa és integrable (sense que l'estructura-Sp lo siga), la noció és una varietat hermítica.

Les varietats de Kähler (en anglés "Kähler manifolds") varen ser cridades aixina en honor al matemàtic Erich Kähler i són importants en la geometria algebraica: elles són una generalisació de la geometria diferencial de varietats algebraiques complexes.

Definició

Les varietats de Kähler poden ser caracterisats en moltes maneres: Usualment es definixen com una varietat complexa en una estructura adicional (o una varietat simpléctica en una estructura adicional, o una varietat de Riemann en una estructura adicional).

Un pot resumir la conexió entre les tres estructures via $h=g+i\omega$, a on h és la forma hermítica, $g$ és la mètrica de Riemann, $i$ és l'estructura complexa parcial, i $\omega$ l'estructura simpléctica parcial.

La mètrica de Kähler en una varietat complexa M és una mètrica hermítica en el fibrado tangente complexificado $TM\otimes ℂ$ que satisfà la condició de tindre vàries caracterisació equivalents (sent la més geomètrica el transport paralel induït per la mètrica que dona lloc a funcions complex-llineals en els espais tangentes). En térmens de coordenades locals s'especifica d'esta manera: si.

és mètrica hermítica, llavors la forma de Kähler associada (definida llevat un factor de $i/2$) per

és tancada: és dir, $d\omega =0$. Si $M$ du tal mètrica es diu una varietat de Kähler.

La mètrica en la varietat de Kähler satisfà localment

$g_{i\overline{j}}=\frac{{\partial }^{2}K}{\partial z^i\partial {\overline{z}}^j}$

per a alguna funció $K$, cridat "el potencial de Kähler".

Una varietat de Kähler, la forma associada de la mètrica de Kähler és cridada Kähler-Einstein (o algunes voltes Einstein-Kähler) si la seua tensor de curvatura Ricci és proporcional al tensor mètric, $R=\lambda g$, per alguna constant $\lambda$. Este nom és un recordatori de les consideracions d'Einstein sobre la constant cosmológica. Vore l'artícul varietat d'Einstein para més detalls.

Eixemples

• L'espai euclidiano complex ${ℂ}^n$ en la mètrica hermítica estàndar és una varietat de Kähler.

• Un bou complex, donat per ${ℂ}^n/\Lambda$ per a una certa ret $\Lambda$, forma una varietat compacta de Kähler en la mètrica natural.

• Cada superfície de Riemann és una varietat de Kähler, ya que la condició per a que $\omega$ siga tancat és trivial en 2 dimensions (reals).

• l'espai proyectivo complex $ℂP^n$ té una mètrica de Kähler natural cridada mètrica de Fubini-Study. Essencialment està determinada per la condició que siga invariante baixe l'acció del grup unitari (d'una dimensió més gran, actuant en l'espai vectorial complex que dona lloc a l'espai proyectivo).

• Qualsevol subvariedad complexa d'una varietat de Kähler és Kähler. En particular, qualsevol varietat complexa que es puga encaixar en ${ℂ}^n$ o $ℂP^n$ és Kähler.

• Les propietats de la restricció de la mètrica de Fubini-Study significa que les varietats algebraiques complexes proyectivas no singulars duen mètriques de Kähler. Açò és fonamental en la seua teoria analítica.

Una subclasse important de les varietats de Kähler són les varietats de Calabi-Yau.

Vore també

• varietat casi complexa
• varietat complexa
• varietat hermítica
• varietat hiperkähleriana
• varietat de Kähler cuaterniónica
• varietat complexa Poisson

Referències

• André Weil, Introduction à l'étude dones variétés kählériennes (1958)
• Alan Huckleberry and Tilman Wurzbacher, eds. Infinite Dimensional Kähler Manifolds (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8.
• Andrei Moroianu, Lectures on Kähler Geometry (2007), London Mathematical Society Student Texts 69, Cambridge ISBN 978-0-521-68897-0.