Varietat casi complexa

En matemàtiques, una varietat casi complexa és una varietat diferenciable M equipada en cada espai tangente $T_{p}M$ en una estructura complexa $J_p$ que varia de forma diferenciable de punt a punt. Esta estructura complexa convertix a cada espai tangente en un espai vectorial complex.

L'existència d'esta estructura és una condició necessària, pero no suficient, per a que la varietat siga una varietat complexa. Aixina, tota varietat complexa és una varietat casi complexa, pero no viceversa.

Les varietats casi complexes tenen importants aplicacions en geometria simpléctica.

Definició formal

Siga M una varietat diferenciable. Una estructura casi complexa $J$ sobre M és un camp tensorial diferenciable de ranc (1,1) que verifica que el endomorfimo $J_p:T_{p}M⟶T_{p}M$ que induïx en cada espai tangente és una estructura complexa (açò, és, que es complix que $J_p^2=-1$, a on 1 és l'aplicació identitat sobre $T_{p}M$).

Al parell $(M,J)$ format per una varietat equipada en una estructura casi complexa fixa se li denomina una varietat casi complexa.

Eixemples

Es demostra que tota varietat casi complexa deu ser de dimensió parell i orientable.

Per a tot natural n, $R^{2n}$ admet una estructura casi complexa, per eixemple la definida per:

$J_{ij}=-{\delta }_{i,j+1}$ per a i impar,

$J_{ij}={\delta }_{i,j-1}$ per a i parell,

a on $1\le i,j\le 2n$.

Les úniques esferas que admeten estructures casi complexes són S² i S⁶. En el cas de S², dita estructura prové de l'estructura complexa de l'esfera de Riemann. La 6-esfera, S⁶, considerada com el conjunt dels octoniones imaginaris de norma 1, hereta una estructura casi complexa que prové del producte de octoniones. Donada (M,J) varietat casi complexa, (M,-J) és també una varietat casi complexa. A l'estructura complexa -J se li crida conjugada de l'estructura complexa J

Referències

da Silva, A.C., Lectures on Symplectic Geometry, Springer (2001). ISBN 3-540-42195-5.

• Kobayashi,S. , Nomizu, K. Foundations of Differential Geometry', Interscience Publishers (1969). ISBN 0-470-49648-7. Capítul IX sobre varietats complexes (i casi complexes).
• Wells, R.O., Differential Analysis on Complex Manifolds, Springer-Verlag, New York (1980). ISBN 0-387-90419-0. Secció breu que introduïx el material estàndar bàsic.