Grup simpléctico

En matemàtiques, el nom grup simpléctico pot referir-se a dos conjunts diferents, pero estretament relacionats, de grups matemàtics, denominats $Sp(2 n, F)$ i $Sp(n)$ per al sancer positiu n i cos F (generalment sobre els número complejo C o els número real R). Este últim es denomina grup simpléctico compacte i també es denota per $U S p (n)$ . Molts autors preferixen notacions llaugerament diferents, que generalment diferixen en factors de $2$ . La notació utilisada ací és consistent en el tamany de les matrius més comunes que representen els grups. En la classificació de Cartan de les àlgebra de Lie simples, l'àlgebra de Lie del grup complex $Sp(2 n, C)$ es denota com $C n$ , i $Sp(n)$ és la forma real compacta de $Sp(2 n, C)$ . Deu tindre's en conte que quan ací es fa referència al grup simpléctico (compacte) es dona a entendre que s'està parlant de la colecció de grups simplécticos (compactes), indexats per la seua dimensió $n$ .

El nom grup simpléctico té el seu orige en la topología simpléctica desarrorrada per Hermann Weyl com a tongada dels confusos noms anteriors (llínea) grup complex i grup llineal abeliano, i és l'anàlec al terme grec que significa complex.

El grup metapléctico és una doble tapa del grup simpléctico sobre R; té anàlecs sobre uns atres cossos locals, cossos finitos i anells adélicos.

$Sp(2 n, F)$

El grup simpléctico és un grup clàssic definit com el conjunt d'aplicacions llineals d'un espai vectorial de dimensió $2 n$ sobre el cos $F$ que conserva una forma bilineal antisimètrica no degenerada. Tal espai vectorial es diu espai vectorial simpléctico, i el grup simpléctico d'un espai vectorial simpléctico abstracte $V$ es denota $Sp(V)$ . En fixar una base per a $V$ , el grup simpléctico es convertix en el grup de matrius simplécticas d'orde $2 n \times 2 n$ , en entrades en $F$ , baix l'operació de multiplicació de matrius. Este grup es denomina $Sp(2 n, F)$ o $Sp(n, F)$ . Si la forma bilineal està representada per la matriu antisimètrica no singular Ω, llavors

Sp (2 n, F) = {M \in M_{2 n \times 2 n} (F) : M^{T} Ω M = Ω},

a on M^T és la matriu transpuesta de M. A sovint, Ω es definix com

Ω = (\begin{matrix} 0 & I_{n} \\ - I_{n} & 0 \end{matrix}),

a on I_n és la matriu identitat. En este cas, $Sp(2 n, F)$ es pot expressar com aquelles matrius de blocs $(\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix})$ , a on $A, B, C, D \in M_{n \times n} (F)$ , satisfent les tres equacions següents:

\begin{matrix} - C^{T} A + A^{T} C & = 0, \\ - C^{T} B + A^{T} D & = I_{n}, \\ - D^{T} B + B^{T} D & = 0. \end{matrix}

Ya que totes les matrius simplécticas tenen determinant $1$ , el grup simpléctico és un subgrup del grup llineal especial $SL(2 n, F)$ . Quan $n = 1$ , la condició simpléctica en una matriu es complix si i solament si el determinant és un, per lo que $Sp(2, F)= SL(2, F)$ . Per a $n > 1$ , existixen condicions adicionals, és dir, $Sp(2 n, F)$ és llavors un subgrup propi de $SL(2 n, F)$ .

Normalment, el cos $F$ és el cos dels número real $R$ o dels número complejo $C$ . En estos casos $Sp(2 n, F)$ és un grup de Lie real/complex de dimensió real/complexa $n (2 n + 1)$ . Estos grups són conexos pero no compactes.

El centre de $Sp(2 n, F)$ consta de les matrius $I 2 n$ i $- I 2 n$ sempre que la característica del cos no siga $2$ .^[1] Ya que el centre de $Sp(2 n, F)$ és discret i el seu cocient mòdul el centre és un grup simple, $Sp(2 n, F)$ es considera un grup simple de Lie.

El ranc real de l'àlgebra de Lie corresponent, i per lo tant del grup de Lie $Sp(2 n, F)$ , és $n$ .

l'àlgebra de Lie de $Sp(2 n, F)$ és el conjunt

𝔰 𝔭 (2 n, F) = {X \in M_{2 n \times 2 n} (F) : Ω X + X^{T} Ω = 0},

equipat en el commutador com el seu soport de Lie.^[2] Per a la forma sesquibilineal estàndar $Ω = (\begin{matrix} 0 & I \\ - I & 0 \end{matrix})$ , esta àlgebra de Lie és el conjunt de totes les matrius de blocs $(\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix})$ subjectes a les condicions

\begin{matrix} A & = - D^{T}, \\ B & = B^{T}, \\ C & = C^{T} . \end{matrix}

$Sp(2 n, C)$

El grup simpléctico sobre el cos dels número complejo és un grup simple de Lie no compacte i simplement conexo.

$Sp(2 n, R)$

$Sp(n, C)$ és la complejifijación del grup real $Sp(2 n, R)$ . $Sp(2 n, R)$ és real, grup simple de Lie, conexo, i no compacte.^[3] Té un grup fonamental isomorfo al grup dels número entero baix l'adició. Com la forma real d'un grup simple de Lie la seua àlgebra de Lie és un àlgebra divisible de Lie.

Algunes propietats adicionals de $Sp(2 n, R)$ són:

l'aplicació exponencial del àlgebra de Lie $sp (2 n, R)$ al grup $Sp(2 n, R)$ no és sobreyectiva. No obstant, qualsevol element del grup es pot representar com el producte de dos exponencials.^[4] En atres paraules,

\forall S \in Sp (2 n, 𝐑) \exists X, Y \in 𝔰 𝔭 (2 n, 𝐑) S = e^{X} e^{Y} .

Per a tots els $S$ en $Sp(2 n, R)$ :

S = O Z O^{'} such that O, O^{'} \in Sp (2 n, 𝐑) \cap SO (2 n) ≅ U (n) and Z = (\begin{matrix} D & 0 \\ 0 & D^{- 1} \end{matrix}) .

La matriu

D

és diagonal i positiva definida. El conjunt de tals

Z

forma un subgrup no compacte de

Sp(2 n, R)

, mentres que

O(n)

forma un subgrup compacte. Esta descomposició es coneix com a descomposició de 'Euler' o de 'Bloch-Messiah'.^[5] Es poden trobar més propietats d'estes matrius en el seu artícul corresponent (vore matriu simpléctica).

Com grup de Lie, $Sp(2 n, R)$ té una estructura múltiple. La varietat corresponent per a $Sp(2 n, R)$ és difeomorfa al producte cartesiano del grup unitari $O(n)$ en un espai vectorial de dimensió $n (n +1)$ .^[6]

Generadors infinitesimals

Els membres de l'àlgebra de Lie simpléctica $sp (2 n, F)$ són les matrius hamiltonianas.

Estes són matrius,

Q

tals que

$Q = (\begin{matrix} A & B \\ C & - A^{T} \end{matrix})$

a on $B$ i $C$ són matrius simètriques. Vore l'artícul grup clàssic per a la seua deducció.

Eixemple de matrius simplécticas

Per a $Sp(2, R)$ , el grup de matrius $2 \times 2$ en determinant $1$ , les tres matrius $(0, 1)$ simplécticas són:^[7]

$(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}) y (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .$

Sp(2n, R)

Resulta que

Sp (2 n, 𝐑)

pot tindre una descripció prou explícita usant generadors. Si es fa que

Sym (n)

denote les matrius

n \times n

simètriques, llavors

Sp (2 n, 𝐑)

és generat per

D (n) \cup N (n) \cup {Ω},

a on

$\begin{matrix} D (n) & = {[\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & (A^{T})^{- 1} \end{matrix}] | A \in GL (n, 𝐑)} \\ N (n) & = {[\begin{matrix} I_{n} & B \\ 0 & I_{n} \end{matrix}] | B \in Sym (n)} \end{matrix}$

són subgrups de

Sp (2 n, 𝐑)

.^[8]^{pg 173}^[9]^{pg 2}

Relació en la geometria simpléctica

La topología simpléctica és l'estudi de les varietats simplécticas. l'espai tangente en qualsevol punt d'una varietat simpléctica és un espai vectorial simpléctico.^[10] Com es va senyalar anteriorment, les transformacions que conserven l'estructura d'un espai vectorial simpléctico formen un grup i este grup és $Sp(2 n, F)$ , segons la dimensió de l'espai i el cos sobre el que es definix.

Un espai vectorial simpléctico és en sí mateixa una varietat simpléctica. Una transformació baix una acció del grup simpléctico és, en cert sentit, una versió linealizada d'un simplectomorfismo, que és una estructura més general que conserva la transformació en una varietat simpléctica.

$Sp(n)$

El grup simpléctico compacte^[11] $Sp(n)$ és l'intersecció de $Sp(2 n, C)$ en el grup unitari $2 n \times 2 n$ :

Sp (n) : = Sp (2 n; 𝐂) \cap U (2 n) = Sp (2 n; 𝐂) \cap SU (2 n) .

A voltes s'escriu com $USp(2 n)$ . Alternativament, $Sp(n)$ es pot descriure com el subgrup de $GL(n, H)$ (matrius cuaterniónicas invertibles) que conserva la forma hermítica estàndar en $H n$ :

⟨ x, y ⟩ = {\bar{x}}_{1} y_{1} + \dots + {\bar{x}}_{n} y_{n} .

És dir, $Sp(n)$ és solament un grup unitari cuaterniónico, $O(n, H)$ .^[12] De fet, a voltes se li crida grup hiperunitario. També Sp(1) és el grup de cuaterniones de norma $1$ , equivalent a el $grup unitari especial$ i topológicamente a una $3$ -esfera $S 3$ .

Tinga's en conte que $Sp(n)$ no és un grup simpléctico en el sentit de la secció anterior: no conserva una forma sesquibilineal $H$ no degenerada simètrica en $H n$ : no existix tal forma llevat la forma zero. Més be, és isomorfo a un subgrup de $Sp(2 n, C)$ , per lo que conserva una forma simpléctica complexa en un espai vectorial de dos voltes la dimensió. Com s'explica a continuació, l'àlgebra de Lie de $Sp(n)$ és la forma real compactar de l'àlgebra de Lie simpléctica complexa $sp (2 n, C)$ .

$Sp(n)$ és un grup de Lie real en dimensió (real) $n (2 n + 1)$ . És compacte i simplement conexo.^[13]

L'àlgebra de Lie de $Sp(n)$ està donada per les matrius cuaterniónicas antihermíticas, el conjunt de matrius cuaterniónicas $n -by- n$ que satisfan

A + A^{†} = 0

a on $A †$ és la matriu trasponer conjugada de $A$ (ací es pren el conjugat cuaterniónico). El soport de Lie ho dona el commutador.

Subgrups importants

Alguns subgrups principals són:

Sp (n) \supset Sp (n - 1)

Sp (n) \subset U (n)

Sp (2) \subset O (4)

Pel contrari, és en sí mateixa un subgrup d'alguns atres grups:

SU (2 n) \supset Sp (n)

F_{4} \supset Sp (4)

G_{2} \supset Sp (1)

També estan els isomorfismes de les àlgebra de Lie $sp (2)= baix (5)$ i $sp (1)= baix (3)= la seua (2)$ .

Vore també

Referències

↑ "Symplectic group", Encyclopaedia of Mathematics Retrieved on 13 December 2014.
↑ Hall 2015 Prop. 3.25
↑ "Is the symplectic group Sp(2n, R) simple?", Stack Exchange Retrieved on 14 December 2014.
↑ "Is the exponential map for Sp(2n, R) surjective?", Stack Exchange Retrieved on 5 December 2014.
↑ "Standard forms and entanglement engineering of multimode Gaussian states under local operations – Serafini and Adesso" [1] archivat en Wayback Machine., Retrieved on 30 January 2015.
↑ "Symplectic Geometry – Arnol'd and Givental", Retrieved on 30 January 2015.
↑ Symplectic Group, (source: MathWorld), downloaded February 14, 2012
↑ Gerald B. Folland.. Harmonic analysis in phase space, Princeton: Princeton Univ Press, p. 173. OCLC 945482850. ISBN 978-1-4008-8242-7.
↑ Habermann, Katharina, 1966-. Introduction to symplectic Dirac operators, Springer. OCLC 262692314. ISBN 978-3-540-33421-7.
↑ "Lecture Notes – Lecture 2: Symplectic reduction", Retrieved on 30 January 2015.
↑ Hall 2015 Section 1.2.8
↑ Hall 2015 p. 14
↑ Hall 2015 Prop. 13.12

Bibliografia

(1989).«Mathematical Methods of Classical Mechanics».Springer Science+Business Mija.60
(2015).«Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction».Springer.222
(1991).«Representation Theory, A first Course».Springer Science+Business Mija.129.
Goldstein, H. (1980 (1ª Ed. 1950)). «Chapter 7», Classical Mechanics, 2nd edició, Reading MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9.
(2003).«Introduction to Smooth manifolds».Springer Science+Business Mija.218
(2002).«Lie Groups – An Introduction Through Linear Groups».Oxford Science Publications.
Plantilla:Cite arXiv.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Grupo simpléctico» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] "Symplectic group", Encyclopaedia of Mathematics Retrieved on 13 December 2014.

[2] Hall 2015 Prop. 3.25

[3] "Is the symplectic group Sp(2n, R) simple?", Stack Exchange Retrieved on 14 December 2014.

[4] "Is the exponential map for Sp(2n, R) surjective?", Stack Exchange Retrieved on 5 December 2014.

[5] "Standard forms and entanglement engineering of multimode Gaussian states under local operations – Serafini and Adesso" [1] archivat en Wayback Machine., Retrieved on 30 January 2015.

[6] "Symplectic Geometry – Arnol'd and Givental", Retrieved on 30 January 2015.

[7] Symplectic Group, (source: MathWorld), downloaded February 14, 2012

[8] Gerald B. Folland.. Harmonic analysis in phase space, Princeton: Princeton Univ Press, p. 173. OCLC 945482850. ISBN 978-1-4008-8242-7.

[9] Habermann, Katharina, 1966-. Introduction to symplectic Dirac operators, Springer. OCLC 262692314. ISBN 978-3-540-33421-7.

[10] "Lecture Notes – Lecture 2: Symplectic reduction", Retrieved on 30 January 2015.

[11] Hall 2015 Section 1.2.8

[12] Hall 2015 p. 14

[13] Hall 2015 Prop. 13.12

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

Sp(2n, F)

Sp(2n, C)

Sp(2n, R)

Generadors infinitesimals

Eixemple de matrius simplécticas

Sp(2n, R)

Relació en la geometria simpléctica

Sp(n)

Subgrups importants

Vore també

Referències

Bibliografia

Referències

$Sp(2 n, F)$

$Sp(2 n, C)$

$Sp(2 n, R)$

$Sp(n)$