Equació de continuïtat

En física, una equació de continuïtat expressa una llei de conservació de forma matemàtica, ya siga de forma integral com de forma diferencial.

Una equación de continuïtat o equación de transport és una equació que descriu el transport d'una magnitut. Resulta especialment senzilla i eficaç quan s'aplica a una magnitut conservada, pero pot generalisar-se per a aplicar-se a qualsevol magnitut extensiva. Ya que la massa, l'energia, l'impuls, la càrrega elèctrica i atres cantitats naturals es conserven en les seues respectives condicions adequades, es poden descriure diversos fenomens físics utilisant equacions de continuïtat.

Les equacions de continuïtat són una forma local més forta de les lleis de conservació. Per eixemple, una versió dèbil de la llei de conservació de l'energia establix que l'energia no pot crear-se ni destruir-se, és dir, que la cantitat total d'energia en l'univers és fixa. Esta afirmació no descarta la possibilitat de que una cantitat d'energia puga desaparéixer d'un punt i aparéixer simultàneament en un atre. Una afirmació més forta és que l'energia es conserva «localment»: l'energia no pot crear-se ni destruir-se, «ni» pot «teletransportarse» d'un lloc a un atre; solament pot desplaçar-se per mig d'un fluix continu. Una equació de continuïtat és la forma matemàtica d'expressar este tipo d'afirmació. Per eixemple, l'equació de continuïtat per a la càrrega elèctrica establix que la cantitat de càrrega elèctrica en qualsevol volum d'espai solament pot variar en la cantitat de corrent elèctrica que fluïx cap a o des d'eixe volum a través dels seus llímits.

Les equacions de continuïtat, en térmens més generals, poden incloure térmens de «font» i «sumidero», lo que els permet descriure magnituts que a sovint, encara que no sempre, es conserven, com la densitat d'una espècie molecular que pot crear-se o destruir-se per mig de reaccions químiques. En un eixemple quotidià, existix una equació de continuïtat per al número de persones vives; té un «terme de font» que té en conte a les persones que naixen, i un «terme de sumidero» que té en conte a les persones que moren.

Qualsevol equació de continuïtat pot expressar-se en «forma integral» (en térmens d'una integral de fluix), que s'aplica a qualsevol regió finita, o en «forma diferencial» (en térmens de l'operador de divergència), que s'aplica en un punt.

Les equacions de continuïtat subyacer a equacions de transport més específiques, com l'equació de convecció-difusió, l'equació de transport de Boltzmann i les equacions de Navier-Stokes.

Els fluix regits per equacions de continuïtat poden visualisar-se per mig d'un diagrama de Sankey.

Equació general

Definició de fluix

Artícul principal → Fluix.

Una equació de continuïtat resulta útil quan es pot definir un «fluix». Per a definir el fluix, primer deu existir una magnitut q que puga fluir o moure's, com la massa, l'energia, la càrrega elèctrica, l'impuls, el número de molècules, etc. Siga “'ρ”' la densitat de volum d'esta cantitat, és dir, la cantitat de q per unitat de volum.

La forma en que fluïx esta cantitat q ve descrita pel seu fluix. El fluix de q és un camp vectorial, que denotem com a j. A continuació es mostren alguns eixemples i propietats del fluix:

• La dimensió del fluix és «cantitat de q que fluïx per unitat de temps, a través d'una unitat d'àrea». Per eixemple, en l'equació de continuïtat de massa per a l'aigua que fluïx, si 1 gram per segon d'aigua fluïx a través d'un tubo en àrea de secció travessera de 1  cm², llavors el fluix de massa mig j dins de la canonada és (1 g/s) / cm², i la seua direcció és a lo llarc de la canonada en la direcció en la que fluïx l'aigua. Fòra de la canonada, a on no hi ha aigua, el fluix és zero.

• Si existix un camp de velocitat o que descriu el fluix en qüestió —en atres paraules, si tota la cantitat q en un punt x es mou en velocitat o(x) —, llavors el fluix és, per definició, igual a la densitat multiplicada pel camp de velocitat:

$$𝐣=\rho 𝐮$$

Per eixemple, si en l'equació de continuïtat de massa per a l'aigua en moviment, o és la velocitat de l'aigua en cada punt i ρ és la densitat de l'aigua en cada punt, llavors j seria el fluix de massa, també conegut com el cabal.

• En un eixemple molt conegut, el fluix de càrrega elèctrica és la densitat de corrent elèctrica.

Ilustració de cóm els fluix, o densitat de fluix, j ₁ i j₂ d'una cantitat q travessen les superfícies obertes S₁ i S₂. (els vectores S₁ i S₂ representen àrees vectorials que poden diferenciar-se en elements d'àrea infinitesimals).

• Si existix una superfície imaginària S, llavors l'integral de superfície del fluix sobre S és igual a la cantitat de q que travessa la superfície S per unitat de temps:

en la que $\underset{S}{\iint }d𝐒$ és una integral de superfície.

Tinga's en conte que el concepte que ací es denomina «fluix» es denomina alternativament «densitat de fluix» en algunes publicacions, en el context de les quals «fluix» denota l'integral de superfície de la densitat de fluix. Vore l'artícul principal sobre Fluix para més detalls.

Plantilla:Anchor Forma integral

La forma integral de l'equació de continuïtat establix que:

• La cantitat de q en una regió aumenta quan entra q adicional a través de la superfície de la regió, i disminuïx quan ix;
• La cantitat de q en una regió aumenta quan es crea nou q dins de la regió, i disminuïx quan es destruïx q;
• A banda d'estos dos processos, no hi ha «cap atra forma» de que canvie la cantitat de q en una regió.

Matemàticament, la forma integral de l'equació de continuïtat que expressa la taxa d'aument de q dins d'un volum V és:

En la forma integral de l'equació de continuïtat, S és qualsevol superfície tancada que tanca completament un volum V, com qualsevol de les superfícies de l'esquerra. S no pot ser una superfície en vores, com les de la dreta. (Les superfícies són blaves, les vores són roges.)

a on

• S és qualsevol superfície tancada imaginària que tanca un volum V,
• ${\oint }_{S}d𝐒$ denota una integral de superfície sobre eixa superfície tancada,
• q és la cantitat total de la magnitut en el volum V,
• j és el fluix de q,
• t és el temps,
• Σ és la taxa neta a la que q es genera dins del volum V per unitat de temps. Quan q s'està generant (és dir, quan $\frac{\partial q}{\partial t}>0$ ), la regió es denomina «font» de q, i fa que Σ siga més positiu. Quan q es destruïx (és dir, quan $\frac{\partial q}{\partial t}<0$), la regió es denomina «sumidero» de q, i fa que Σ siga més negatiu. El terme Σ s'escriu a voltes com $dq/dt{|}_{\text{gen}}$ o el canvi total de q des de la seua generació o destrucció dins del volum de control.

En un eixemple senzill, V podria ser un edifici, i q el número de persones vives que hi ha en ell. La superfície S estaria formada per les parets, les portes, el sostre i els fonaments de l'edifici. Llavors, l'equació de continuïtat establix que el número de persones vives en l'edifici (1) aumenta quan les persones vives entren en l'edifici (és dir, quan hi ha un fluix cap a dins a través de la superfície), (2) disminuïx quan les persones vives ixen de l'edifici (és dir, quan hi ha un fluix cap a fòra a través de la superfície), (3) aumenta quan algú en l'edifici dona a llum a una nova vida (és dir, quan hi ha una taxa de canvi positiva en el temps dins del volum), i (4) disminuïx quan algú en l'edifici deixa de viure (és dir, quan hi ha una taxa de canvi negativa en el temps dins del volum). En conclusió, en este eixemple hi ha quatre formes distintes en que la taxa neta Σ pot vore's alterada.

Forma diferencial

Plantilla:Vore també Segons el teorema de la divergència, una equació de continuïtat general també pot expressar-se en «forma diferencial»:

a on

• ∇⋅ és la divergència,
• ρ és la densitat de la cantitat q (és dir, la cantitat q per unitat de volum),
• j és el fluix de q (és dir, j = ρv, a on v és el camp vectorial que descriu el moviment de la cantitat q),
• t és el temps,
• σ és la generació de q per unitat de volum per unitat de temps. Els térmens que generen q (és dir, σ > 0) o eliminen q (és dir, σ < 0) es denominen fonts i sumideros, respectivament.

Teoria electromagnètica

En teoria electromagnètica, la equació de continuïtat ve derivada de dos de les equacions de Maxwell. Establix que la divergència de la densitat de corrent és igual al negatiu de la derivada de la densitat de càrrega respecte del temps:

En atres paraules, només podrà haver un fluix de corrent si la cantitat de càrrega varia en el pas del temps, ya que esta disminuïx o aumenta en proporció a la càrrega que és usada per a alimentar dita corrent.

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{J}=-\frac{\partial \rho }{\partial t}$

Esta equació establix la conservació de la càrrega.

Coherència en les equacions de Maxwell

Una de les equacions de Maxwell, la llei de Ampère (en la correcció de Maxwell), establix que

$$\mathrm{\nabla }\times 𝐇=𝐉+\frac{\partial 𝐃}{\partial t}.$$ Si es pren la divergència d'abdós costats (la divergència i la derivada parcial sobre el temps són conmutativas), s'obté $$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐇)=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉+\frac{\partial (\mathrm{\nabla }\cdot 𝐃)}{\partial t},$$ pero la divergència d'un rotacional és zero, per lo que $$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉+\frac{\partial (\mathrm{\nabla }\cdot 𝐃)}{\partial t}=0.$$

La corrent és el moviment de la càrrega. L'equació de continuïtat establix que, si la càrrega ix d'un volum diferencial, és dir, la divergència de la densitat de corrent és positiva, la cantitat de càrrega dins d'eixe volum disminuirà, per lo que la taxa de variació de la densitat de càrrega és negativa. Per lo tant, l'equació de continuïtat equival a una llei de conservació de la càrrega.

Si existiren els monopols magnètics, també hi hauria una equació de continuïtat per a les corrents de monopol; vore l'artícul sobre els monopols per a conéixer els antecedents i la dualitat entre les corrents elèctriques i magnètiques.

Vore també

• Llei de conservació
• Equacions de Euler
• Decorregut incompresible
• Equació de Schrödinger
• Densitat de provabilitat